Άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών

Η Εικασία του Γκόλντμπαχ

Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών, έτσι ώστε για κάθε n ≧ 2, 2n = p + q, όπου p, q πρώτοι αριθμοί.

Η υπόθεση του Ρήμαν

Το πραγματικό μέρος κάθε μη τετριμμένης μηδενικής ρίζας της συνάρτησης ζ του Ρήμαν είναι ½.

Το τελευταίο Θεώρημα του Φερμά

Δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι x, y, και z τέτοιοι ώστε xⁿ + yⁿ = zⁿ, όπου n θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2.

Σημείωση: Το τελευταίο θεώρημα του Fermat αποδείχθηκε πρόσφατα από τους μαθηματικούς Andrew Wiles και Richard Taylor στο πανεπιστήμιο Princeton.

Άλλα άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών είναι:

* Υπάρχει πάντα ένας πρώτος αριθμός μεταξύ 2 διαδοχικών τελείων τετραγώνων;

* H υπόθεση των διδύμων πρώτων αριθμών.

* Η απειρία των τέλειων αριθμών.

* Υπάρχει περιττός τέλειος αριθμός;

* Περιέχει η ακολουθία Φιμπονάτσι άπειρους πρώτους αριθμούς;

* Αν × είναι πρώτος ο 2×-1 δεν θα διαιρείται από το τετράγωνο ενός πρώτου.

* Υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής ν²+1;

* Τα Αιγυπτιακά κλάσματα: προσδιορίστε αν κάθε κλάσμα της μορφής 4/n με n > 1 μπορεί να γραφεί ως το άθροισμα τριών θετικών ρητών αριθμών με αριθμητή 1, π.χ. 4/n = 1/i + 1/j + 1/k.

Πηγές

* Eric W. Weisstein, "Unsolved Problems", MathWorld--A Wolfram Web Resource [1]

Τα κλασικά άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών παραδοσιακά ήταν τρία: