Η Εικασία του Γκόλντμπαχ (Goldbach Conjecture) είναι ένα από τα παλιότερα άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών και γενικότερα των μαθηματικών. Εκφράζεται ως εξής:

Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών, έτσι ώστε για κάθε n ≧ 2, 2n = p + q, όπου p, q πρώτοι αριθμοί.

Για παράδειγμα,

4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7

κτλ.

Ιστορική αναδρομή

Στις 7 Ιουνίου 1742 ο Κρίστιαν Γκόλντμπαχ έστειλε μία επιστολή στον Λέοναρντ Όιλερ, στην οποία έκανε μια πρώτη αναφορά στην εξής εικασία:

Κάθε ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τριών πρώτων.

Θεωρούσε βέβαια ως δεδομένο ότι το 1 είναι πρώτος αριθμός, σύμβαση που μεταγενέστερα εγκαταλείφθηκε. Έτσι σήμερα η αρχική θεωρία του Goldbach θα γραφόταν ως εξής

Κάθε ακέραιος μεγαλύτερος του 5 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τριών πρώτων.

Ο Όιλερ απάντησε με μία ισοδύναμη εκδοχή της εικασίας:

Κάθε άρτιος ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων,

προσθέτοντας ότι το δέχεται ως ένα πλήρως ορισμένο θεώρημα (”ein ganz gewisses Theorema”), παρά το γεγονός ότι δεν είναι σε θέση να το αποδείξει. Αυτή η προγενέστερη εικασία είναι σήμερα γνωστή ως “τριαδική” εικασία του Γκόλντμπαχ, ενώ η μεταγενέστερη ως “ισχυρή” ή “δυαδική” εικασία του Γκόλνμπαχ. Η εικασία ότι όλοι οι περιττοί αριθμοί μεγαλύτεροι του 9 μπορούν να γραφτούν ως άθροισμα τριών περιττών πρώτων αριθμών καλείται ως η “αδύναμη” εικασία του Γκόλντμπαχ. Και οι δύο παραμένουν άλυτες μέχρι σήμερα.

Προσπάθειες απόδειξης

Όπως με πολλές άλλες εικασίες των μαθηματικών, υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός από διαδεδομένες αποδείξεις της εικασίας του Γκόλντμπαχ, από τις οποίες όμως καμία δεν έχει γίνει ακόμα αποδεκτή από την μαθηματική κοινότητα. Ο εκδοτικός οίκος "Faber and Faber" προσέφερε το βραβείο του ενός εκατομμυρίου δολαρίων σε όποιον αποδείκνυε την εικασία του Γκόλντμπαχ μέσα στο χρονικό διάστημα από τις 10 Μαρτίου 2000 μέχρι τις 20 Μαρτίου 2002, αλλά κανείς δεν τα κατάφερε και έτσι η εικασία παραμένει ακόμα και μέχρι σήμερα ανοιχτή.

Δείτε επίσης

* Το τελευταίο Θεώρημα του Φερμά

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* Η πρωτότυπη επιστολή του Goldbach προς τον Euler

* Η εικασία του Goldbach στο Wolfram Mathworld

* Ιστοσελίδα για την επαλήθευση της εικασίας σε δεδομένο ακέραιο

Βιβλιογραφία

* Απόστολος Δοξιάδης: Ο θείος Πέτρος και η εικασία του Goldbach