.

Σχήμα 1: Κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα ρ.

Κύκλος ή περιφέρεια με κέντρο Κ και ακτίνα ρ, είναι το γεωμετρικό σχήμα που απαρτίζεται από τα σημεία του επιπέδου που ισαπέχουν από το Κ απόσταση ρ. Συμβολίζουμε C(Κ,ρ). Εναλλακτικά, ο κύκλος ορίζεται ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα δεδομένο σημείο.

Κάθε σημείο Μ του επιπέδου του κύκλου C(Κ,ρ) για το οποίο ισχύει ΜΚ < ρ, λέγεται εσωτερικό σημείο του κύκλου. Αντίστοιχα κάθε σημείο Ν του επιπέδου για το οποίο ΝΚ > ρ λέγεται εξωτερικό σημείο του κύκλου. Το σύνολο των εσωτερικών σημείων του κύκλου ονομάζεται εσωτερικό του κύκλου και ο κύκλος μαζί με το εσωτερικό του λέγεται κυκλικός δίσκος. Στο σχήμα 2 το εξωτερικό του κύκλου δηλώνεται με το ελαφρό γκρίζο ενώ το εσωτερικό με το έντονο γκρίζο.

Σχήμα 2: Το εσωτερικό και το εξωτερικό του κύκλου.

Ένα ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία ενός κύκλου λέγεται χορδή του κύκλου. Όταν αυτή περιέχει το κέντρο του, λέγεται διάμετρος και τα άκρα της χαρακτηρίζονται αντιδιαμετρικά.

Κατά τον Ευκλείδη (Στοιχεία, βιβλίο πρώτο), "Κύκλος εστί σχήμα επίπεδον υπό μιάς γραμμής περιεχόμενον [ή καλείται περιφέρεια], πρός ήν αφ'ενός σημείου τών εντός τού σχήματος κειμένων πάσαι αι προσπίπτουσαι ευθείαι [πρός τήν τού κύκλου περιφέρειαν] ίσαι αλλήλαις εισίν. Κέντρον δέ τού κύκλου το σημείον καλείται. Διάμετρος δέ του κύκλου εστίν ευθεία τις διά τού κέντρου ηγμένη και περατουμένη εφ' εκάτερα τά μέρη υπό τής τού κύκλου περιφερείας, ήτις καί δίχα τέμνει τόν κύκλον".

Τόξα και επίκεντρες γωνίες

Σχήμα 3: Επίκεντρη γωνία, το αντίστοιχο τόξο της και ο κυκλικός της τομέας.

Τόξο ΑΒ είναι το τμήμα ενός κύκλου που αποτελείται από τα σημεία του Α και Β και όλα τα ενδιάμεσά τους. Κάθε ζεύγος σημείων πάνω σε κύκλο ορίζει δύο τόξα. Αν η χορδή ΑΒ είναι διάμετρος τότε τα τόξα αυτά λέγονται ημικύκλια. Στην αντίθετη περίπτωση το ένα τόξο λέγεται μείζον και το άλλο έλασσον· μείζον είναι το τόξο που ανήκει στο ίδιο ημιεπίπεδο της χορδής με το κέντρο του κύκλου.

Μία γωνία λέγεται επίκεντρη όταν η κορυφή της είναι το κέντρο ενός κύκλου. Κάθε γωνία μπορούμε να την καταστήσουμε επίκεντρη θεωρώντας έναν κύκλο (αυθαίρετης ακτίνας) γύρω από την κορυφή της. Στο σχήμα 3, αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας ΑΚΒ θα λέμε το έλασσον τόξο ΑΒ. Λέμε επίσης ότι η γωνία ΑΚΒ βαίνει στο τόξο ΑΒ, και ότι το τόξο ΑΒ φαίνεται υπό γωνία ΑΚΒ.

Κυκλικός τομέας λέγεται κάθε γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από τα κοινά σημεία ενός κυκλικού δίσκου και μίας επίκεντρης γωνίας του, όπως είναι το γραμμοσκιασμένο σύνολο του σχήματος 3.

Θεώρημα αντιστοιχίας τόξου-επίκεντρης

Σε έναν κύκλο, ίσες επίκεντρες γωνίες βαίνουν σε ίσα τόξα. Αντίστροφα, σε ένα κύκλο ίσα τόξα φαίνονται υπό ίσες επίκεντρες γωνίες.

Απόδειξη ευθέος: Ας είναι C(Κ,ρ) ένας κύκλος και ΑΚΒ, ΓΚΔ ίσες επίκεντρες γωνίες που βαίνουν αντίστοιχα στα τόξα ΑΒ και ΓΔ. Μετατοπίζουμε τη γωνία ΓΚΔ έτσι ώστε η ημιευθεία ΚΔ να ταυτιστεί με την ημιευθεία ΚΒ. Τότε η ημιευθεία ΚΓ θα ταυτιστεί με την ημιευθεία ΚΑ από την ισότητα των γωνιών και τα σημεία Γ και Δ θα ταυτιστούν με τα σημεία Α και Β αντίστοιχα επειδή ΚΑ = ΚΒ = ΚΓ = ΚΔ = ρ (ισότητα ευθύγραμμων τμημάτων).

Επίσης, κάθε σημείο του τόξου ΓΔ συμπίπτει κατά τη μετατόπισή του με ένα σημείο του τόξου ΑΒ: αν υπήρχε σημείο του τόξου ΓΔ που δεν θα ανήκε στο τόξο ΑΒ, τότε θα έπρεπε να είναι είτε εξωτερικό είτε εσωτερικό σημείο του κύκλου, που είναι σε κάθε περίπτωση αδύνατο αφού είναι σημείο τόξου του κύκλου (απαγωγή σε άτοπο)· συνεπώς τα τόξα είναι ίσα.

Απόδειξη αντίστροφου: Ας είναι C(Κ,ρ) ένας κύκλος και ΑΒ, ΓΔ ίσα τόξα που φαίνονται αντίστοιχα υπό τις επίκεντρες γωνίες ΑΚΒ και ΓΚΔ. Μετατοπίζουμε το τόξο ΓΔ έτσι ώστε να ταυτιστεί με το τόξο ΑΒ. Τότε η πλευρά γωνίας ΚΓ ταυτίζεται με την ΚΑ και η ΚΔ ταυτίζεται με την ΚΑ και έτσι οι γωνίες είναι ίσες.

Σύγκριση τόξων και πράξεις

Σχήμα 4: Ίσες επίκεντρες γωνίες βαίνουν σε ίσα τόξα και αντίστροφα.

* Σε έναν κύκλο, θα λέμε ότι ένα τόξο είναι μεγαλύτερο ή ίσο ή μικρότερο από ένα άλλο όταν η επίκεντρη γωνία του πρώτου είναι μεγαλύτερη ή ίση ή μικρότερη από την επίκεντρη γωνία του άλλου.

* Μέσο ενός τόξου ΑΒ είναι ένα σημείο Μ στο εσωτερικό του τέτοιο ώστε τα τόξα ΑΜ και ΜΒ να είναι ίσα. Κάθε τόξο έχει ένα μόνο μέσο.

Απόδειξη: Αν Μ είναι το μέσο ενός τόξου ΑΒ, τότε θα είναι ΑΜ = ΜΒ (ισότητα τόξων). Για τις αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες θα ισχύει ΑΚΜ = ΜΚΒ (ισότητα γωνιών), που σημαίνει ότι η ημιευθεία ΚΜ είναι η διχοτόμος της γωνίας ΑΚΒ. Η διχοτόμος μίας γωνίας όμως είναι από αξίωμα μοναδική, συνεπώς το Μ θα είναι και αυτό μοναδικό.

* Οι πράξεις στα τόξα (προσθαφαίρεση τόξου με τόξο και πολλαπλασιασμός - διαίρεση τόξου με αριθμό) ορίζονται με βάση τις επίκεντρες γωνίες όπου αντιστοιχούν. Σε κάθε περίπτωση, το τόξο-αποτέλεσμα της πράξης είναι το τόξο που αντιστοιχεί στην επίκεντρη γωνία-αποτέλεσμα της αντίστοιχης πράξης.

* Λέγοντας μέτρηση ενός τόξου ΑΒ εννοούμε τη σύγκρισή του με ένα μοναδιαίο τόξο ΚΛ του ίδιου κύκλου. Αν ισχύει ΑΒ = μ/ν ΚΛ, τότε λέμε ότι το μήκος του τόξου ΑΒ ως προς το τόξο ΚΛ είναι μ/ν. Συνηθισμένη μονάδα μέτρησης εδώ είναι το τόξο που ισούται με το ένα τριακοσιοστό εξηκοστό του κύκλου. Το μήκος του μοναδιαίου αυτού τόξου λέμε ότι ισούται με μία μοίρα και συμβολίζουμε 1°.

* Επειδή, σύμφωνα με το θεώρημα αντιστοιχίας, ίσα τόξα αντιστοιχούν σε ίσες επίκεντρες γωνίες, μπορούμε να αναγάγουμε τη μέτρηση των γωνιών στη μέτρηση των τόξων. Έτσι όταν λέμε άνοιγμα γωνίας μπορούμε εναλλακτικά να εννοούμε το μήκος του αντίστοιχου τόξου της, αν αυτή θεωρηθεί ως επίκεντρη. Στη μέτρηση σε μοίρες λοιπόν, το άνοιγμα της μοναδιαίας γωνίας θα ισούται με 1°, της πλήρους γωνίας με 360°, της ευθείας γωνίας με 180°, και της ορθής με 90°.

Άλλες ιδιότητες

* Στην ευκλείδεια γεωμετρία, το εσωτερικό του κύκλου είναι κυρτό σύνολο από αξίωμα.

Σε ίσα τόξα αντιστοιχούν ίσες χορδές.

* Σε ίσα τόξα ενός κύκλου αντιστοιχούν ίσες χορδές και αντίστροφα.

Απόδειξη ευθέος: Ας είναι C(Ο,ρ) ένας κύκλος και ΑΒ, ΓΔ δύο ίσα τόξα σε αυτόν. Θεωρούμε τις ακτίνες ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, ΟΔ και τις χορδές ΑΒ και ΓΔ. Σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ είναι ίσα. Συνεπώς θα είναι και ΑΒ = ΓΔ.

Απόδειξη αντίστροφου: Θεωρούμε δύο ίσες χορδές ΑΒ, ΓΔ σε κύκλο C(Ο,ρ). Τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ που σχηματίζονται είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς. Συνεπώς ΑΟΒ = ΓΟΔ (ισότητα γωνιών) από όπου ΑΒ = ΓΔ (ισότητα τόξων).

Απόστημα χορδής.

* Η κάθετη από το κέντρο ενός κύκλου προς μία χορδή του, διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο.

Απόδειξη: Ας είναι C(Ο,ρ) κύκλος και ΑΒ μία χορδή του. Αν ΟΜ είναι το απόστημα της ΑΒ τότε τα τρίγωνα ΟΜΒ και ΟΜΑ είναι ίσα ως ορθογώνια με μία κοινή κάθετη και υποτείνουσα ίση. Έτσι ΜΑ = ΜΒ, άρα το Μ θα είναι μέσο της ΑΒ και ΜΟΑ = ΜΟΒ (ισότητα γωνιών), δηλαδή ΝΑ = ΝΒ (ισότητα τόξων) και το Ν είναι το μέσο του τόξου ΑΒ.

* Δύο χορδές κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα.

Απόδειξη ευθέος: Ας είναι ΑΒ και ΓΔ ίσες χορδές σε κύκλο C(Ο,ρ). Φέρνουμε τα αποστήματα ΟΚ και ΟΛ και τις ακτίνες ΟΑ και ΟΓ αντίστοιχα. Τα τρίγωνα ΟΚΑ και ΟΛΓ είναι ίσα ως ορθογώνια με ίση κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα ίση με ρ. Έτσι και οι ΟΚ και ΟΛ θα είναι ίσες.

Δύο χορδές είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα.

Απόδειξη αντίστροφου: Έστω ΑΒ και ΓΔ χορδές σε κύκλο C(Ο,ρ) με ίσα αποστήματα ΟΚ και ΟΛ αντίστοιχα. Φέρνουμε τις ακτίνες ΟΑ και ΟΓ. Τα τρίγωνα ΟΚΑ και ΟΛΓ είναι ίσα ως ορθογώνια με ίση κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα ίση με ρ. Έτσι και ΑΚ = ΓΛ, δηλαδή οι χορδές θα είναι ίσες μεταξύ τους.

* Από την τριγωνική ανισότητα, κάθε χορδή σε κύκλο είναι μικρότερη ή ίση της διαμέτρου.

* Εάν C είναι η περίμετρος του κύκλου, τότε: