Έστω \( K=\mathbb{Q}(\theta) \) αριθμητικό σώμα βαθμού n και \( a_1,..a_n \) μια βάση αυτού ως \( \mathbb{Q} \) διανυσματικός χώρος. Ακόμα έστω \( r_1,..,r_n r_i \ne r_j \) οι ρίζες του \( Irr(\theta,\mathbb{Q}) \) στο \( \mathbb{C} \) και \( \sigma_i:K \rightarrow \mathbb{C} \) οι n διακεκριμένοι μονομορφισμοί από το Κ στο \( \mathbb{C} \) όπου \( \sigma _i(\theta)=r_i \). Κάνοντας χρήση των \( \sigma_i \) σχηματίζουμε τον ακόλουθο πίνακα :

\( A = \begin{bmatrix} \sigma_1(a_1) & ... & \sigma_1(a_n) \\ \sigma_2(a_1) & ... & \sigma_2(a_n) \\ ...&...&... \\ \sigma_n(a_1)&...&\sigma_n(a_n) \end{bmatrix} \)

Ως διακρίνουσα της βάσης (Basis discriminant) \( a_1,..a_n \) του αριθμητικού σώματος Κ ορίζουμε το μιγαδικό αριθμό \( \Delta(a_1,..,a_n)=(det(A))^2 \).

Παραδείγματα

Έστω \( K=\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) και \( η \{1,\sqrt{2} \} \) μια βάση αυτού ως \( \mathbb{Q} \) διανυσματικού χώρου. Οι ρίζες του \( Irr(\sqrt{2},\mathbb{Q})=x^2-2 \) είναι οι \( \pm \sqrt{2} \) οπότε οι δύο μονομορφισμοί από το \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) στο \( \mathbb{C} \) είναι οι

\( \sigma_1(\sqrt{2})=\sqrt{2} και \sigma_2(\sqrt{2})=-\sqrt{2} \)

οπότε είμαστε πλέον σε θέση να υπολογίσουμε την διακρίνουσα της βάσης \( \{1,\sqrt{2} \} \) του αριθμητικού σώματος \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \). Έχουμε λοιπόν ότι \( \Delta_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})}(1,\sqrt{2})=\Big(det \begin{bmatrix} \sigma_1(1) & \sigma_1(\sqrt{2}) \\ \sigma_2(1) & \sigma_2(\sqrt{2}) \end{bmatrix} \Big)^2=\Big(det \begin{bmatrix} 1 & \sqrt{2} \\ 1 & -\sqrt{2} \end{bmatrix} \Big)^2=(-2\sqrt{2})^2=8 \)

Scientific Library