Σώμα Αριθμών

Ως (αλγεβρικό) σώμα αριθμών (Algebraic Number Field) ορίζουμε κάθε πεπερασμένη επέκταση του σώματος \( \mathbb{Q} των ρητών αριθμών. Πιο συγκεκριμένα ως αριθμητικό σώμα ορίζουμε κάθε υπόσωμα Κ του \( \mathbb{C} \) έτσι ώστε ο βαθμός της επέκτασης του Κ επί του \( \mathbb{Q} \), δηλαδή η διάσταση του Κ ως διανυσματικού χώρου επί του \( \mathbb{Q} \), να είναι πεπερασμένη, επομένως [\( K:\mathbb{Q}]=dim_\mathbb{Q} K<\infty \).
Παραδείγματα

Το \( \mathbb{Q} (\sqrt{2} ) = \{ a+b\sqrt{2} | a, b \in \mathbb{Q} \} \) είναι σώμα αριθμών επειδή \( [\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2 \) . Παρατηρήστε ότι, το ανάγωγο πολυώνυμο του \( \sqrt{2} \) επί του \( \mathbb{Q} \) είναι το \( f(x) = x^2-2 \) και άρα \( [\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=degf(x)=2 \).

Το σώμα \( \mathbb{R} \) των πραγματικών αριθμών δεν είναι σώμα αριθμών.