Στα μαθηματικά, και συγκεκριμένα στα δυναμικά συστήματα, ένα Διάγραμμα διακλάδωσης (Bifurcation diagram) δείχνει τις πιθανές μακροπρόθεσμες τιμές ενός συστήματος ως συνάρτηση μιας παραμέτρου διακλάδωσης του συστήματος. Είναι σύνηθες να αναπαριστούμε τις σταθερές λύσεις με συμπαγείς γραμμές και τις ασταθείς λύσεις με διακεκομμένες.

Διακλαδώσεις στη Λογιστική Απεικόνιση

Ένα παράδειγμα αποτελεί το διάγραμμα διακλάδωσης της λογιστικής απεικόνισης:

Η παράμετρος διακλάδωσης r είναι στον οριζόντιο άξονα του γραφήματος, ενώ ο κάθετος άξονας δείχνει τις πιθανές τιμές της λογιστικής συνάρτησης. Μόνο οι σταθερές λύσεις εμφανίζονται εδώ, ενώ υπάρχουν ακόμη πολλές άλλες ασταθείς λύσεις.

Λογιστική Απεικόνιση, χρησιμοποιώντας την Mathematica

Ορισμός της απεικόνισης

map[r_] := r#(1 - #) &;

Τροχιά

orbit[r_, x0_, n_] := NestList[r#(1 - #) &, x0, n];

Σχέδιο της τροχιάς

plotorbit[r_, start_, n_, Opts___] :=
ListPlot[NestList[r#(1 - #) &, start, n],
Opts,
PlotStyle -> {AbsolutePointSize[4], RGBColor[1, 0, 0]},
GridLines -> Automatic,
Epilog ->
ListPlot[NestList[r#(1 - #) &, start, n],
PlotJoined -> True,
DisplayFunction -> Identity
][[1]]

]

Σχέδιο της τροχιάς για r = 2.8, 100 βήματα

plotorbit[2.8, 0.1, 100, AxesLabel -> {n, x\_i}];

Σχέδιο της τροχιάς για r = 3.68, 100 βήματα

plotorbit[3.68, 0.1, 100, AxesLabel -> {n, x\_i}];

Το διάγραμμα διακλάδωσης δείχνει τον χωρισμό των πιθανών περιόδων των σταθερών τροχιών από 1 σε 2 σε 4 σε 8 κλπ. Κάθε ένα από αυτά τα σημεία διακλάδωσης αποτελεί μια διακλάδωση διπλασιασμού περιόδου. Το ποσοστό των μηκών των συνεχόμενων καμπυλών ανάμεσα σε τιμές του r για τις οποίες συμβαίνει η διακλάδωση, συγκλίνει στη σταθερά του Φάιγκενμπαουμ.

Περίοδος

2 r = 3
4 r = 3.44948974... =
8 r = 3.54409035...

r = 3.569945672

Σπάσιμο συμμετρίας σε σύνολα διακλαδώσεων

ε ένα δυναμικό σύστημα όπως το

το οποίο είναι δομικά σταθερό όταν , εάν σχεδιαστεί ένα διάγραμμα διακλάδωσης, με το μ να είναι η παράμετρος διακλάδωσης, αλλά για διαφορετικές τιμές του ε, η περίπτωση ε = 0 αντιστοιχεί σε συμμετρική pitchfork διακλάδωση. Όταν , λέμε ότι έχουμε ένα pitchfork με σπασμένη συμμετρία. Τα παραπάνω παρουσιάζονται η επόμενη εικόνα.

Η συμμετρία σπάει στη pitchfork διακλάδωση καθώς η παράμετρος ε παίρνει διάφορες τιμές.

Σταθερές του Feigenbaum

Δείτε επίσης

Κυκλική απεικόνιση Διάγραμμα διακλάδωσης

Απεικόνιση Σκηνής (Tent map) :

* Θεωρία διακλαδώσεων

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* Η Λογιστική Απεικόνιση και Χάος (Αγγλικά)