Διανυσματικός χώρος

Στα μαθηματικά, διανυσματικός χώρος (Vector space) ή γραμμικός χώρος ονομάζεται ένα μη κενό σύνολο V, εφοδιασμένο με μια εσωτερική πράξη "+ \," και μια εξωτερική πράξη " \times \, ", πάνω σε ένα σώμα Κ αν πληρούνται οι παρακάτω ιδιότητες:

1. Για κάθε \( u,v,w \in V \) ισχύει \( (u+v)+w=u+(v+w) \, \)

2. Για κάθε \( u, v \in V \) ισχύει \( u+v=v+u \, \)

3. Υπάρχει \( 0 \in V \), τέτοιο ώστε \( u+0=0+u=u \,, \) για κάθε \( u \in V \)

4. Για κάθε \( u \in V \ \), υπάρχει \( (-u) \in V \), τέτοιο ώστε \( u+(-u)=(-u)+u=0 \, \)

5. Για κάθε \( \alpha , \beta \in K \) και \( u \in V, \) ισχύει \( \alpha \times (\beta\times u) = (\alpha \times \beta)\times u \)

6. Για κάθε \( u \in V \), ισχύει \( 1\times u = u, 1 \in K \)

7. Για κάθε \( \alpha \in K \) και \( u, v \in V \), ισχύει \( \alpha \times (u + v) = \alpha \times u + \alpha \times v \)

8. Για κάθε \( \alpha , \beta \in K \) και \( u \in V \,, \) ισχύει \( (\alpha + \beta)\times u = \alpha \times u + \beta \times u \)

Ένας διανυσματικός χώρος θα λέγεται πραγματικός αν K = R και μιγαδικός αν K = C .

Παραδείγματα

Υπάρχουν πολλά σύνολα μαθηματικών αντικειμένων τα οποία αποτελούν διανυσματικούς χώρους καθώς χαρακτηρίζονται από ιδιότητες που είναι κοινές μεταξύ τους και υπάρχουν σε κάθε διανυσματικό χώρο. Τέτοια σύνολα είναι:

1) Τo σύνολο D των ελεύθερων διανυσμάτων.
2) Το σύνολο Π των ν x μ πραγματικών πινάκων.
3) Το σύνολο F(I) των πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού I (υποσύνολο του R) και είναι εφοδιασμένο με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού που ορίστηκαν παραπάνω.
4) Το σύνολο P όλων των πολυωνυμικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής με πραγματικούς συντελεστές. κ.α.

Όλα αυτά τα σύνολα διαφέρουν ως προς τη φύση των στοιχείων από τα οποία αποτελούνται. Όμως έχουν βασικές ομοιότητες ως προς της ιδιότητες των πράξεων με τις οποίες αυτά είναι εφοδιασμένα.
Βάση

Σε ένα διανυσματικό χώρο V βάση του V ονομάζεται το ελάχιστο σύνολο στοιχείων του που μπορούν να παράγουν τον χώρο, που μπορούν δηλαδή με γραμμικούς συνδυασμούς να σχηματίσουν κάθε στοιχείο του χώρου. Η βάση ενός διανυσματικού χώρου δεν είναι μοναδική, όλες οι διαφορετικές βάσεις έχουν όμως το ίδιο πλήθος. Το πλήθος των στοιχείων μίας βάσης ενός διανυσματικού χώρου V ονομάζεται διάσταση του V (dimV).

Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια