Η τριγωνική ανισότητα στα μαθηματικά είναι μία έκφραση του ότι «μεταξύ δύο σημείων, συντομωτέρα οδός η ευθεία». Συγκεκριμένα εκφράζει ότι σε ένα τρίγωνο, το μήκος κάθε πλευράς είναι μικρότερο από το άθροισμα των μηκών των άλλων δύο πλευρών, καθώς και μεγαλύτερο από τη διαφορά τους.

Στη μαθηματική ανάλυση

Ας είναι x και y δύο πραγματικοί αριθμοί. Η τριγωνική ανισότητα γράφεται
\( ||x|-|y||\leq |x+y|\leq |x|+|y| \)

όπου με |x| συμβολίζουμε την απόλυτη τιμή του αριθμού x.

Γενικότερα, σε έναν μετρικό χώρο (X,d) η τριγωνική ανισότητα λαβαίνεται ως αξίωμα:
\( d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y) \)

και σε έναν νορμικό χώρο (V,||.||):
\( ||x+y||\leq ||x||+||y|| \)

για οποιαδήποτε διανύσματα x,y του V.
Στην ευκλείδεια γεωμετρία
Τριγωνική ανισότητα

Τριγωνική ανισότητα: Κάθε πλευρά σε τρίγωνο είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους.

Απόδειξη: Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με β > γ. Προεκτείνουμε την γ προς το Α και παίρνουμε ΑΔ = β. Το τρίγωνο ΑΓΔ δηλαδή είναι ισοσκελές, άρα Δ = ΑΓΔ < ΒΓΔ και έτσι α < β + γ.

Με κυκλική εναλλαγή προκύπτει επίσης ότι β < γ + α και γ < α + β.

Εφόσον τώρα είναι β > γ, από το ότι β < γ + α παίρνουμε β - γ < α. Αποδείξαμε τελικά ότι ισχύει
|β - γ| < α < β + γ

Η τριγωνική ανισότητα είναι στην πραγματικότητα ένα κριτήριο τριγώνων, υπό την έννοια ότι αν δίνονται τρία μήκη α, β και γ, αυτά θα είναι πλευρές τριγώνου αν και μόνο αν ικανοποιούν την τριγωνική ανισότητα.

Πολυγωνική ανισότητα

Πολυγωνική ανισότητα: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία είναι μικρότερο από κάθε τεθλασμένη που ενώνει τα σημεία αυτά.

Απόδειξη: Ας είναι ΑΒ ένα ευθύγραμμο τμήμα και ΑΣ₁Σ₂Σ₃…Σ_ν-1Σ_νΒ μία τεθλασμένη. Φέρνουμε όλες τις διαγωνίους από το Β. Από τις τριγωνικές ανισότητες στα τρίγωνα που σχηματίζονται παίρνουμε διαδοχικά:

\( \mathrm{AB} < \mathrm{A}\Sigma_1+\Sigma_1\mathrm{B}
\( \mathrm{AB} < \mathrm{A}\Sigma_1+\Sigma_1\Sigma_2+\Sigma_2\mathrm{B}
\vdots \mathrm{AB} < \mathrm{A}\Sigma_1+\Sigma_1\Sigma_2+\cdots+\Sigma_{\nu-1}\Sigma_\nu+\Sigma\mathrm{B} \)

Δείτε επίσης

Τρίγωνο
Αρχή του ελαχίστου χρόνου

Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Scientific Library