Ένας Τοπολογικός Χώρος V λέγεται τοπολογική πολλαπλότητα (Topological manifold) διάστασης n αν: (α) ο V είναι χώρος Hausdorff, (β) ο V είναι συναφής, (γ) σε κάθε σημείο P του V υπάρχει υπάρχει ένα ανοιχτό σύνολο που περιέχει το σημείο αυτό που είναι ομοιόμορφο προς ένα ανοικτό σύνολο του \( \mathbb{R}^n \). Ιστορικά μια από τις αιτίες για την μελέτη των πολλαπλοτήτων στάθηκε η γενική θεωρία της σχετικότητας του Άλμπερτ Αϊνστάιν, όπου ο τετραδιάστατος χωροχρόνος, λόγω της αρχής της ισοδυναμίας, αποτελεί πολλαπλότητα διάστασης 4, αλλά και η μελέτη δυναμικών συστημάτων και η αναλυτική μηχανική.

Διάσταση

Η διάσταση της πολλαπλότητας είναι μια τοπολογική ιδιότητα, που σημαίνει ότι οποιαδήποτε πολλαπλότητα που είναι ομοιόμορφη με μια n-πολλαπλότητα έχει επίσης διάσταση n. Όπως προκύπτει από την αναλλοίωτη μια n-πολλαπλότητα δεν μπορεί να είναι ομοιόμορφη με μια m-πολλαπλότητα για n ≠ m.

Μια πολλαπλότητα διάστασης 1 συχνά καλείται καμπύλη, ενώ μια πολλαπλότητα διάστασης 2 ονομάζεται επιφάνεια. Πολλαπλότητες μεγαλύτερης διάστασης συνήθως ονομάζονται n-πολλαπλότητες.
Χώρος Hausdorff

Ένας τοπολογικός χώρος λέγεται χώρος Hausdorff αν για κάθε x,y που ανηκουν στο Α με x \neq y υπάρχει ε>0 τέτοιο ώστε

B(x,ε) ∩ B(y,ε) = ∅.

Παραδείγματα

Ο χώρος \( \mathbb{R}^n \) είναι τοπολογική πολλαπλότητα διάστασης n, διότι σε κάθε σημείο του P υπάρχει ανοιχτό σύνολο που περιέχει το P και είναι ομοιόμορφο προς τον εαυτό του.
Οποιοδήποτε διακριτός χώρος είναι μια 0-πολλαπλότητα.
Ο κύκλος είναι μια 1-πολλαπλότητα.
Ο τόρος είναι μια 2-πολλαπλότητα.
Η n-διάστατη σφαίρα Sn είναι μια συμπαγή n-πολλαπλότητα.
Ο n-διάστατος τόρος Tn (το γινόμενο n κύκλων) είναι μια συμπαγή n-πολλαπλότητα.
Οι χώροι Lens είναι μια κατηγορία πολλαπλοτήτων που είναι πηλίκα σφαιρών που έχουν μονές διαστάσεις.
Οι ομάδες Lie είναι πολλαπλότητες προικισμένες με μια δομή ομάδας.
Κάθε ανοιχτό υποσύνολο μιας n-πολλαπλότητας είναι μια n-πολλαπλότητα.
Αν M είναι μια m-πολλαπλότητα και N είναι μια n-πολλαπλότητα, το γινόμενο M × N είναι μια (m+n)-πολλαπλότητα.
Η ένωση μιας οικογένειας n-πολλαπλοτήτων είναι μια n-πολλαπλότητα (τα κομμάτια πρέπει να έχουν όλα την ίδια διάσταση).

Ταξινόμηση των πολλαπλοτήτων

Μια 0-πολλαπλότητα είναι απλώς ένας διακριτό χώρο. Οι χώροι αυτοί κατατάσσονται ανάλογα με την πληθικότητα τους.

Κάθε συνδετική 1-πολλαπλότητα είναι ομοιόμορφη είτε με το R ή με τον κύκλο.

Κάθε συμπαγής, 2-πολλαπλότητα είναι ομοιόμορφη με τη σφαίρα, ένα συνδεδεμένο σύνολο τόρων.

Η 3-διάστατη περίπτωση μπορεί να λυθεί. Η εικασία του Thurston, εάν είναι αλήθεια, μαζί με τις σημερινές γνώσεις, θα συνεπαγόταν την κατάταξη των 3-πολλαπλοτήτων. Ο Γκριγκόρι Πέρελμαν σκιαγράφησε μια απόδειξη αυτής της εικασίας το 2003, η οποία (από το 2011) φαίνεται να είναι ουσιαστικά σωστή.

Η πλήρης κατάταξη των n-πολλαπλοτήτων για n μεγαλύτερο από τρία είναι γνωστό ότι είναι αδύνατο.Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει αλγόριθμος για να διαπιστωθεί εάν μια δοσμένη πολλαπλότητα είναι απλά συνδετική. Υπάρχει, ωστόσο, μια ταξινόμηση απλά συνδετικών πολλαπλοτήτων διάστασης ≥ 5
Διαφορίσιμη πολλαπλότητα

Η σχέση των ισοδύναμων ατλάντων είναι μια σχέση ισοδυναμίας και χωρίζει τον τοπολογικό χώρο σε κλάσεις ισοδυναμίας.Κάθε τέτοια κλάση ονομάζεται διαφορίσιμη πολλαπλότητα. Πιο συγκεκριμένα, διαφορίσιμη πολλαπλότητα διάστασης n κλάσης \( C^k \) Ονομάζεται κάθε n-διάστατη τοπολογική πολλαπλότητα V με μια k-κλάση ισοδυναμίας από το σύνολο όλων των ατλάντων κλάσης \( C^k \) που ορίζονται πάνω στην πολλαπλότητα V.

Παράδειγμα: Ο χώρος \( \mathbb{R}^n \) είναι διαφορίσιμη πολλαπλότητα της κλάσης C^\infty διότι στον χώρο αυτό ορίζεται ο άτλαντας που έχει ένα μόνο στοιχείο (το χάρτη \( (\mathbb{R}^n,I)) \) όπου I είναι ο ταυτοτικός ομοιομορφισμός επί του \( \mathbb{R}^n \) που είναι της κλάσης \( C^\infty \)
Θεωρήματα

Θεώρημα Milnor: Υπάρχει τοπολογική πολλαπλότητα ώστε να ορίσουμε δύο διαφορετικούς άτλαντες που να μην είναι ισοδύναμοι μεταξύ τους.
Θεώρημα Whitney: Αν σε μια τοπολογική πολλαπλότητα έχουμε έναν άτλαντα κλάσης \( C^1 \) τότε μπορούμε αφαιρώντας κάποιους χάρτες,να προκύψει υποάτλαντας κλάσης \( C^\infty \)
Θεώρημα Kervaire: Μια τοπολογική πολλαπλότητα δεν επιδέχεται πάντα διαφορίσιμη δομή.

Αναφορές (στα Αγγλικά)

Gauld, D. B. (1974). "Topological Properties of Manifolds". The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 81 (6): 633–636. doi:10.2307/2319220. JSTOR 2319220.
Kirby, Robion C.; Siebenmann, Laurence C. (1977). Foundational Essays on Topological Manifolds. Smoothings, and Triangulations. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-08191-3.
Lee, John M. (2000). Introduction to Topological Manifolds. Graduate Texts in Mathematics 202. New York: Springer. ISBN 0-387-98759-2.

Βιβλιογραφία

Ηλιοπούλου, Ε. - Α., Ταμία - Δημοπούλου, Π., Διαφορίσιμες πολλαπλότητες (1996)
Spivak, Michael, Calculus On Manifolds: A Modern Approach To Classical Theorems Of Advanced Calculus (1971)
Ζώης Ι.Π, Εισαγωγή στης διαφορίσιμες πολλαπλότητες , Pdf

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Η λύση από τον Πέρελεμαν της Εικασίας του Πουανκαρέ : , [1]

Δείτε ακόμα

Τοπολογία
Τοπολογικός χώρος
Άτλας

Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Scientific Library