Τετραγωνισμός του κύκλου

Ο Τετραγωνισμός του κύκλου είναι ένα από τα αρχαιότερα γεωμετρικά προβλήματα. Η διατύπωση του είναι απλή: Ζητείται η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη ενός τετραγώνου του οποίου το εμβαδόν να είναι ίσο με το εμβαδόν ενός δοθέντος κύκλου. Το 1882, ο μαθηματικός Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν (Ferdinand von Lindemann) απέδειξε το αδύνατο της επίλυσης του προβλήματος.

Το πρόβλημα

τραγωνίζω τον κύκλο σημαίνει ότι κατασκευάζω, με γεωμετρική ή αλγεβρική μέθοδο, ένα τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του κύκλου.

Η δυσκολία του προβλήματος συνίσταται σε δύο περιορισμούς που έθεσαν σε αυτό οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί. Πιο συγκεκριμένα, για να θεωρηθεί αποδεκτή μία λύση του προβλήματος, σε αυτήν θα πρέπει:

* να χρησιμοποιηθεί μόνο κανόνας και διαβήτης, προκειμένου η απόδειξη να ανάγεται πλήρως στα θεωρήματα του Ευκλείδη, και

* να μην πραγματοποιείται μετά από άπειρο αριθμό βημάτων.

Αποδεικνύεται ότι το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου επιλύεται εύκολα αν άρουμε οποιονδήποτε από αυτούς τους δύο περιορισμούς.

Η επίλυση του προβλήματος συνδέεται άμεσα με την υπερβατικότητα του αριθμού π: Αν κάποιος έχει καταφέρει να τετραγωνίσει τον κύκλο, σημαίνει ότι με κάποιο τρόπο έχει υπολογίσει μία συγκεκριμένη αλγεβρική τιμή για το π. Κάτι τέτοιο όμως δεν είναι εφικτό στην περίπτωση που ο αριθμός π είναι υπερβατικός, οπότε δεν έχει συγκεκριμένη αλγεβρική τιμή. Πράγματι, το ενδιαφέρον για την επίλυση του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου εξανεμίζεται το 1882, όταν ο Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν (Ferdinand von Lindemann) απέδειξε ότι το π είναι υπερβατικός αριθμός.

Ο κύκλος και το τετράγωνο του σχήματος έχουν το ίδιο εμβαδόν. Παρόλ' αυτά δεν υπάρχει μια γεωμετρική μέθοδος που επιτρέπει να μεταβαίνουμε από το σχήμα στα αριστερά στα σχήμα στα δεξιά.

Ο "τετραγωνισμός του κύκλου" ως μεταφορά

Ο τετραγωνισμός του κύκλου είναι ένα από τα διασημότερα μαθηματικά προβλήματα. Ένα μεγάλο πλήθος μαθηματικών, από την αρχαιότητα μέχρι τα τέλη του 19ου αιώνα, έχουν αφιερώσει μεγάλο κομμάτι της εργασίας τους στην προσπάθεια να τετραγωνίσουν τον κύκλο.

Αυτό είχε ως αποτέλεσμα η φράση "τετραγωνίζω τον κύκλο" να υιοθετηθεί και από την κουλτούρα των μη μυημένων στα μαθηματικά, ως συνώνυμη του "επιδιώκω το ακατόρθωτο / το καταδικασμένο σε αποτυχία". Στην ελληνική γλώσσα για παράδειγμα, η φράση "σιγά μην τετραγωνίσουμε και τον κύκλο" υποδηλώνει άρνηση συμμετοχής σε μια προσπάθεια που είναι από δύσκολο εως αδύνατο να οδηγήσει σε επιτυχία. Από την άλλη, αρκετές φορές "τετραγωνίζω τον κύκλο" μπορεί να σημαίνει "ασχολούμαι με κάτι ιδιαιτέρως σημαντικό"

# Ferdinand Lindemann: Über die Zahl π. Mathematische Annalen 20 (1882), S. 213 - 225.
# David Hilbert: Ueber die Transcendenz der Zahlen e und π. Mathematische Annalen 43 (1893), S. 216 - 219.
# Paul Albert Gordan: Transcendenz von e und π. Mathematische Annalen 43 (1893), S. 222 - 224.

Εξωτερικές συνδέσεις

* Τρία 'Αλυτα Προβλήματα, άρθρο της Ελληνικής Μαθηματικής Πύλης για τον τετραγωνισμού του κύκλου και άλλα διάσημα μαθηματικά προβλήματα

* Τετραγωνισμός του κύκλου - Η λύση του Δεινόστρατου