Hellenica World

.

Στα μαθηματικά, σειρά Taylor (Taylor Series) είναι η αναπαράσταση μίας συνάρτησης ως άθροισμα απείρων όρων οι οποίοι υπολογίζονται από τις τιμές των παραγώγων της σε ένα συγκεκριμένο σημείο.

Οι σειρές Taylor είσήχθησαν από τον άγγλο μαθηματικό Μπρουκ Τέιλορ (Brook Taylor) το 1715. Αν η σειρά έχει κέντρο το μηδέν, τότε καλείται επίσης σειρά Maclaurin, από τον Σκοτσέζο μαθηματικό Κόλιν Μακλόριν ο οποίος έκανε εκτεταμένη χρήση αυτής της ειδικής περίπτωσης των σειρών Taylor τον 18ο αιώνα.

Είναι κοινή πρακτική να γίνεται χρήση πεπερασμένου αριθμού όρων μιας σειράς για την προσέγγιση μιας συνάρτησης. Το θεώρημα Taylor δίνει ποσοτικές εκτιμήσεις για το σφάλμα της προσέγγισης. Οποιοσδήποτε πεπερασμένος αριθμός αρχικών όρων της σειράς καλείται πολυώνυμο Taylor. Η σειρά Taylor μίας συνάρτησης είναι το όριο του πολυωνύμου Taylor αυτής της συνάρτησης, υπό την προϋπόθεση ότι το όριο υπάρχει. Μία συνάρτηση ενδέχεται να μην ισούται με την οικεία σειρά Taylor, ακόμα και αν η σειρά Taylor συγκλίνει σε κάθε σημείο. Μία συνάρτηση η οποία είναι ίση με την οικεία σειρά Taylor σε ένα ανοιχτό διάστημα (ή δίσκο στο μιγαδικό επίπεδο) είναι γνωστή ως αναλυτική συνάρτηση.

Ορισμός

Η σειρά Taylor μίας πραγματικής ή μιγαδικής συνάρτησης ƒ(x) η οποία είναι απείρως παραγωγίσιμη σε μία γειτονιά ενός πραγματικού ή μιγαδικού αριθμού α είναι η δυναμοσειρά

\( f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots. \)

η οποία μπορεί να γραφτεί και

\( \sum_{n=0} ^ {\infty } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n} \)

όπου n! υποδηλώνει το παραγοντικό του n και ƒ (n)(a) την τιμή της n-οστής παραγώγου της ƒ στο σημείο α. Η 0οστή παράγωγος της ƒ ορίζεται να είναι η ίδια η ƒ και τα (x − α)0 και 0! είναι επίσης εξ ορισμού 1. Στην περίπτωση που α = 0, η σειρά αποκαλείται και σειρά Maclaurin.
Παραδείγματα

Η σειρά Maclaurin οποιουδήποτε πολυωνύμου είναι το ίδιο το πολυώνυμο.

Η σειρά Maclaurin του (1 − x)−1 για |x| < 1 είναι η γεωμετρική σειρά

\( 1+x+x^2+x^3+\cdots\! \)

έτσι η σειρά Taylor για x−1 στο α = 1 είναι

\( 1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+\cdots.\! \)

Ολοκληρώνωντας την παραπάνω σειρά Maclaurin βρίσκεται η σειρά Maclaurin του log(1 − x), όπου log υποδηλώνει τον φυσικό λογάριθμο:

\( -x-\tfrac{1}{2}x^2-\tfrac{1}{3}x^3-\tfrac{1}{4}x^4-\cdots\! \)

και η αντίστοιχη σειρά Taylor για το log(x) στο α = 1 είναι

\( (x-1)-\tfrac{1}{2}(x-1)^2+\tfrac{1}{3}(x-1)^3-\tfrac{1}{4}(x-1)^4+\cdots.\! \)

Η σειρά Taylor της εκθετική συνάρτησης ex στο α = 0 είναι

\( 1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots.\! \)

Η παραπάνω σχέση προκύπτει έτσι επειδή η παράγωγος της ex ως προς το x είναι επίσης ex ενώ e0 ισούται με 1. Έτσι μένουν οι όροι (x − 0)n στον αριθμητή και στον παρονομαστή n! για κάθε όρο της άπειρης σειράς.
Ιστορία

Ο Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων ασχολήθηκε με το πρόβλημα της άθροισης άπειρης σειράς προσπαθώντας να επιτύχει πεπερασμένο αποτέλεσμα, αλλά το απέρριψε θεωρώντας το απίθανο. Το αποτέλεσμα ήταν το παράδοξο του Ζήνωνα. Αργότερα ο Αριστοτέλης έθεσε μία φιλοσοφική επίλυση του παραδόξου, ωστόσο το μαθηματικό περιεχόμενο του προβλήματος παρέμενε άλυτο έως ότου ασχολήθηκαν με αυτό ο Δημόκριτος και έπειτα ο Αρχιμήδης. Με την μέθοδο της εξάντλησης του Αρχιμήδη ήταν δυνατό να διαχειριστούν διαδοχικές υποδιαιρέσεις ώστε να επιτευχθεί πεπερασμένο αποτέλεσμα.[1] Ο Λιου Χούι ανεξάρτητα χρησιμοποίησε παρόμοια μέθοδο λίγους αιώνες αργότερα.[2]

Τον 14ο αιώνα, τα νωρίτερα παραδείγματα της χρήσης σειρών Taylor και στενά συγγενικών μεθόδων δίνονται από τον Μαντάβα του Σανγκαμαγκράμα.[3] Αν και δεν σώζεται καταγραφή του έργου του, γραπτά μεταγενέστερων ινδών μαθηματικών υποδεικνύουν ότι είχε βρει κάποιες ειδικές περιπτώσεις σειρών Taylor, όπως αυτές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και του τόξου εφαπτομένης. Η σχολή μαθηματικών και αστρονομίας της Κεράλα επέκτεινε περαιτέρω το έργο του μέχρι τον 16ο αιώνα.

Τον 17ο αιώνα, ο Τζέιμς Γκρέγκορι δημοσίευσε αρκετές σειρές Maclaurin. Το 1715 εν τέλει δώθηκε η γενική μέθοδος κατασκευής αυτών των σειρών για όλες τις συναρτήσεις για τις οποίες υπάρχουν από τον Μπρουκ Τέιλορ,[4] του οποίου πήραν το όνομα.

Η σεριά Maclaurin πήρε το όνομά της από τον Κόλιν Μακλόριν, καθηγητή στο Εδιμβούργο, ο οποίος δημοσίευσε την ειδική περίπτωση των σειρων Taylor τον 18ο αιώνα.
Αναλυτικές συναρτήσεις
Η συνάρτηση e−1/x² δεν είναι αναλυτική στο x = 0: η σειρά Taylor είναι 0, ενώ η συνάρτηση όχι.

Αν η f(x) δίνεται από μία συγκλίνουσα δυναμοσειρά σε ένα ανοικτό δίσκο (ή διάστημα στους πραγματικούς) με κέντρο το b, ονομάζεται αναλυτική στον δίσκο. Έτσι για x εντός του δίσκου, η f δίνεται από μία συγκλίνουσα δυναμοσειρά

\( f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n(x-b)^n. \)

Παραγωγίζοντας ως προς x την παραπάνω n φορές, και θέτωντας x=b προκύπτει:

\( \frac{f^{(n)}(b)}{n!} = a_n \)

έτσι το ανάπτυγμα της δυναμοσειράς συμφωνεί με την σειρά Taylor. Έτσι η συνάρτηση είναι αναλυτή σε ένα ανοιχτό δίσκο με κέντρο το b αν και μόνον αν η σειρά Taylor της συγκλίνει στην τιμή της συνάρτησης σε κάθε σημείο του δίσκου.

Αν η f(x) ισούται με την οικεία σειρά Taylor παντού τότε καλείται ακέραια αναλυτική συνάρτηση. Τα πολυώνυμα, η εκθετική συνάρτηση ex και οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο είναι παραδείγματα ακεραίων συναρτήσεων. Παραδείγματα συναρτήσεων που δεν είναι ακέραιες περιλαμβάνουν τον λογάριθμο, την τριγωνομετρική συνάρτηση της εφαπτομένης και την αντίστροφή της, το τόξο εφαπτομένης. Για αυτές τις συναρτήσεις η σειρά Taylor δεν συγκλίνει αν το x απέχει από το α. Οι σειρά Taylor μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της τιμής μίας ακέραιας συνάρτησης σε κάθε σημείο, αν η τιμή της συνάρτησης, και όλων των παραγώγων της είναι γνωστές σε ένα σημείο.
Προσέγγιση και σύγκλιση
Η συνάρτηση του ημιτόνου (μπλε) προσεγίζεται από το 7βάθμιο πολυώνυμο Taylor για μία περίοδο με κέντρο την αρχή των αξόνων.
Τα πολυώνυμα Taylor για το log(1+x) παρέχουν ακριβείς προσεγγίσεις μόνο στο εύρος−1 < x ≤ 1. Σημειωτέον ότι για x > 1, τα πολυώνυμα Taylor μεγαλύτερου βαθμού αποτελούν χειρότερες προσεγγίσεις.

Στα δεξιά εικονίζεται μια ακριβής προσέγγιση της συνάρτησης ημx γύρω από το σημείο x = 0. Η ροζ καμπύλη είναι πολυώνυμο 7ου βαθμού:

\( \sin x \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}.\! \)

Το σφάλμα της προσέγγισης δεν είναι πάνω από |x|9/9!. Συγκεκριμένα για −1 < x < 1, το σφάλμα είναι μικρότερο από 0.000003.

Για αντίθεση, επιδεικνύεται επίσης μία αναπαράσταση της συνάρτησης του φυσικού λογαρίθμου log(1 + x) και κάποιων από τα πολυώνυμα Taylor γύρω από το α = 0. Αυτές οι προσεγγίσεις συγκλίνουν στη συνάρτηση μόνο στην περιοχή −1 < x ≤ 1; έξω από αυτή την περιοχή τα ανωτέρου βαθμού πολυώνυμα αποτελούν χειρότερες προσεγγίσεις της συνάρτησης. Αυτό είναι παρόμοιο με το φαινόμενο του Runge.

Το σφάλμα που προκύπτει από την προσέγγιση της συνάρτησης με το n-οστού βαθμού πολυώνυμο ονομάζεται υπόλοιπο και αποδίδεται από την συνάρτηση Rn(x). Το θεώρημα Taylor μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση του φράγματος του υπολοίπου.

Εν γένει, η σειρά Taylor δεν είναι συγκλίνουσα. Στην πραγματικότητα το σύνολο των συναρτήσεων με συγκλίνουσα σειρά Taylor είναι υποσύνολο του χώρου Frechet των λείων συναρτήσεων. Ακόμα και αν η σειρά Taylor μιας συνάρτησης f είναι συγκλίνουσα, το όριο της δεν είναι εν γένει ίσο με την τιμή της συνάρτησης f(x). Για παράδειγμα η συνάρτηση

\( f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2}&\alpha\nu\ x\not=0\\ 0&\alpha\nu\ x=0 \end{cases} \)

είναι απείρως παραγωγίσιμη στο x = 0 και όλες οι παράγωγοι είναι μηδέν στο σημείο. Συνεπώς η σειρά Taylor της f(x) γύρω από το x = 0 είναι ταυτόσημη με το μηδέν. Ωστόσο η f(x) δεν είναι ίση με την μηδενική συνάρτηση και συνεπώς δεν είναι ίση με την σειρά Taylor γύρω από το μηδέν.

Στην πραγματική ανάλυση, αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι υπάρχουν απείρως παραγωγίσιμες συναρτήσεις f(x) των οποίων η σειρά Taylor δεν είναι ίση με την f(x) ακόμα και αν συγκλίνει. Αντιθέτως στην μιγαδική ανάλυση δεν υπάρχουν ολομορφικές συναρτήσεις f(z) των οποίων η σειρά Taylor να συγκλίνει σε τιμή διαφορετική από την f(z). Η μιγαδική συνάρτηση e−z−2 δεν προσεγγίζει το 0 καθώς το z πλησιάζει το 0 πάνω στον φανταστικό άξονα, και έτσι η σειρά Taylor έτσι ορίζεται εκεί.

Πιο γενικά, κάθε ακολουθία πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών μπορεί να εμφανιστεί ως συντελεστές στην σειρά Taylor μιας απείρως παραγωγίσιμης συνάρτησης που ορίζεται στην ευθεία των πραγματικών, ως συνέπεια του λήμματος του Borel. Ως αποτέλεσμα, η ακτίνα σύγκλισης μιας σειράς Taylor μπορεί να είναι μηδέν. Υπάρχουν ακόμα και απείρως παραγωγίσιμες συναρτήσεις που ορίζονται στην ευθεία των πραγματικών των οποίων η σειρά Taylor έχει ακτίνα σύγκλισης 0 παντού.[5]

Κάποιες συναρτήσεις δεν μπορούν να γραφούν ως σειρά Taylor γιατί περιέχουν μία ανωμαλία, σε αυτές τις περιπτώσεις, μπορεί να επιτευχθεί η ανάπτυξη της σειράς αν επιτραπούν οι αρνητικές δυνάμεις της μεταβλητής x. Για παράδειγμα η \( f(x) = e^{-x^{-2}} \) μπορεί να γραφεί ως σειρά Laurent.

Γενίκευση

Υπάρχει ωστόσο μία γενίκευση[6][7] της σειράς Taylor η οποία συγκλίνει στην τιμή της συνάρτησης για οποιαδήποτε φραγμένη συνεχή συνάρτηση στο (0,∞), χρησιμοποιώντας τον λογισμό των πεπερασμένων διαφορών. Ειδικότερα υπάρχει το ακόλουθο θεώρημα του Einar Hille, σύμφωνα με το οποίο για οποιοδήποτε t > 0,

\( \lim_{h\to 0^+}\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}\frac{\Delta_h^nf(a)}{h^n} = f(a+t). \)

Εδώ το \Delta^n_h είναι ο τελεστής της n-οστής πεπερασμένης διαφοράς. Η σειρά είναι ακριβώς η σειρά Taylor, εκτός από το ότι εμφανίζονται διαιρέσεις με πεπερασμένες διαφορές αντί για παραγωγίσεις: η σειρά μοιάζει με την σειρά Newton. Όταν η συνάρτηση f είναι αναλυτική στο a, οι όροι της σειράς συγκλίνουν στους όρους της σειράς Taylor, και υπό αυτή την έννοια αποτελεί την γενίκευση της σειράς Taylor.

Εν γένει για οποιαδήποτε άπειρη ακολουθία ai, ισχύει η ακόλουθη ταυτότητα δυναμοσειρών.

\( \sum_{n=0}^\infty\frac{u^n}{n!}\Delta^na_i = e^{-u}\sum_{j=0}^\infty\frac{u^j}{j!}a_{i+j}. \)

Έτσι συγκεκριμένα,

\( f(a+t) = \lim_{h\to 0^+} e^{-t/h}\sum_{j=0}^\infty f(a+jh) \frac{(t/h)^j}{j!}. \)

Η σειρά στα δεξιά είναι η αναμενόμενη τιμή της f(a + X), όπου X είναι τυχαία μεταβλητή με κατανομή Poisson που παίρνει την τιμή jh με πιθανότητα e−t/h(t/h)j/j!. Έτσι

\( f(a+t) = \lim_{h\to 0^+} \int\limits_{-\infty}^\infty f(a+x)dP_{t/h,h}(x). \)

Η ταυτότητα ισχύει σύμφωνα με τον νόμο των μεγάλων αριθμών.
Κατάλογος σειρών Maclaurin κοινών συναρτήσεων
Το πραγματικό μέρος της συνάρτησης του συνημιτόνου στο μιγαδικό επίπεδο.
Προσέγγιση 8ου βαθμού της συνάρτησης του συνημιτόνου στο μιγαδικό επίπεδο.
Σύνθεση των δύο παραπάνω καμπυλών.

Ακολουθούν τα αναπτύγματα σημαντικών σειρών Maclaurin.[8] Όλες οι σχέσεις ισχύουν για μιγαδικά x.

Εκθετική συνάρτηση:

\( \mathrm{e}^{x} = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\forall x\! \)

Φυσικός λογάριθμος:

\( \log(1-x) = -\sum^{\infty}_{n=1} \frac{x^n}n \) για \( -1\le x<1 \)

\( \log(1+x) = \sum^{\infty}_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n \) για \( -1<x\le1 \)

Πεπερασμένη γεωμετρική σειρά:

\( \frac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum^{m}_{n=0} x^n\quad\) για \( x \not= 1\) και \( m\in\mathbb{N}_0\! \)

Άπειρη γεωμετρική σειρά:

\( \frac{1}{1-x} = \sum^{\infty}_{n=0} x^n \) για \( |x| < 1\! \)

Παραλλαγές της άπειρης γεωμετρικής σειράς:

\( \frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infty}_{n=m} x^n\quad \) για \( |x| < 1 \) και \( m\in\mathbb{N}_0\! \)

\( \frac{x}{(1-x)^2} = \sum^{\infty}_{n=1}n x^n\quad \) για \( |x| < 1\! \)

\( \frac{1}{(1-x)^2} = \sum^{\infty}_{n=1}n x^{n-1}\quad \) για \( |x| < 1\! \)

Τετραγωνική ρίζα:

\( \sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \textstyle \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots \) για \( |x|\le 1 \)

Διωνυμική σειρά (περιλαμβάνει και την τετραγωνική ρίζα για α = 1/2 και την άπειρη γεωμετρική σειρά για α = −1):

\( (1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n\quad \) για όλα τα \( |x| < 1 \) και όλους τους μιγαδικούς \( \alpha\! \)

με γενικευμένους διωνυμικούς συντελεστές

\( {\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} \)

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

\( \sin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \) για όλα τα \( x\! \)

\( \cos x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots για όλα τα x\! \)

\( \tan x = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots \) για \( |x| < \frac{\pi}{2}\! \)

όπου Bs είναι οι αριθμοί Bernoulli.

\( \sec x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} \) για \( |x| < \frac{\pi}{2}\! \)

\( \arcsin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} \) για \( |x| \le 1\! \)

\( \arccos x ={\pi\over 2}-\arcsin x={\pi\over 2}- \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} \) για \(|x| \le 1\! \)

\( \arctan x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} \) για \( |x| \le 1\! \)

Υπερβολικές συναρτήσεις:

\( \sinh x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots \) για όλα τα \( x\! \)

\( \cosh x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \) για όλα τα \( x\! \)

\( \tanh x = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} = x-\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5-\frac{17}{315}x^7+\cdots \) για \( |x| < \frac{\pi}{2}\! \)

\( \mathrm{arsinh} (x) = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} \) για \( |x| \le 1\! \)

\( \mathrm{artanh} (x) = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \) για \( |x| < 1\! \)

Συνάρτηση W του Lambert:

\( W_0(x) = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n \) για \( |x| < \frac{1}{\mathrm{e}}\! \)

Οι αριθμοί B_k που εμφανίζονται στο ανάπτυγμα της tan(x) και tanh(x) είναι οι αριθμοί Bernoulli. Οι E_k στο ανάπτυγμα της sec(x) είναι οι αριθμοί Euler.
Υπολογισμός της σειράς Taylor

Αρκετές μέθοδοι υπάρχουν για τον υπολογισμό της σειράς Taylor για μεγάλο αριθμό συναρτήσεων. Είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί η σειρά Taylor ως έχει και να γενικευθεί η μορφή των συντελεστών, ή να χρησιμοποιηθούν χειρισμοί όπως η αντικατάσταση, ο πολλαπλασιασμός ή η διαίρεση, πρόσθεση ή αφαίρεση τυπικής σειράς Taylor για την κατασκευή της σειράς Taylor μιας συνάρτησης. Σε κάποιες περιπτώσεις μπορεί να εξαχθεί η σειρά Taylor από την επαναληπτική ολοκλήρωση κατά μέρη.
Πρώτο παράδειγμα

Υπολογισμός του πολυωνύμου Maclaurin 7ου βαθμού της συνάρτησης

\( f(x)=\log\cos x, \quad x\in(-\pi/2, \pi/2)\!. \)

Αρχικά η συνάρτηση μεταγράφεται ως

\( f(x)=\log(1+(\cos x-1))\!. \)

Για τον φυσικό λογάριθμο (με χρήση του συμβολισμού Ο)

\( \log(1+x) = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 + {O}(x^4)\! \)

για την συνάρτηση του συνημιτόνου

\( \cos x - 1 = -\frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + {O}(x^8)\! \)

Η ανάπτυξη της τελευταίας έχει ένα μηδενικό σταθερό όρο που επιτρέπει να αντικατασταθεί η δεύτερη σειρα στην πρώτη και να γίνει παράλειψη των όρων τάξεως άνω του 7:

\( \begin{align}f(x)&=\log(1+(\cos x-1))\\ &=\bigl(\cos x-1\bigr) - \frac12\bigl(\cos x-1\bigr)^2 + \frac13\bigl(\cos x-1\bigr)^3+ {O}\bigl((\cos x-1)^4\bigr)\\&=\biggl(-\frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} +{O}(x^8)\biggr)-\frac12\biggl(-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}+{O}(x^6)\biggr)^2+\frac13\biggl(-\frac{x^2}2+O(x^4)\biggr)^3 + {O}(x^8)\\ & =-\frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720} - \frac{x^4}8 + \frac{x^6}{48} - \frac{x^6}{24} +O(x^8)\\ & =- \frac{x^2}2 - \frac{x^4}{12} - \frac{x^6}{45}+O(x^8). \end{align}\! \)

Καθώς το συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση, οι συντελεστές όλων των περιττών δυνάμεων x, x3, x5, x7, ... πρέπει να είναι μηδέν.
Δεύτερο παράδειγμα

Εύρεση της σειράς Taylor στο 0 της συνάρτησης

\( g(x)=\frac{e^x}{\cos x}\!. \)

Για την εκθετική συνάρτηση

\( e^x = \sum^\infty_{n=0} {x^n\over n!} =1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!}+\cdots\! \)

και, όπως στο πρώτο παράδειγμα

\( \cos x = 1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} - \cdots\! \)

Υπόθεση ότι η δυναμοσειρά είναι

\( {e^x \over \cos x} = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots\! \)

Και πολλαπλασιασμός με τον παρονομαστή και υποκατάσταση της σειράς του συνημιτόνου

\( \begin{align} e^x &= (c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots)\cos x\\ &=\left(c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4x^4 + \cdots\right)\left(1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} - \cdots\right)\\&=c_0 - {c_0 \over 2}x^2 + {c_0 \over 4!}x^4 + c_1x - {c_1 \over 2}x^3 + {c_1 \over 4!}x^5 + c_2x^2 - {c_2 \over 2}x^4 + {c_2 \over 4!}x^6 + c_3x^3 - {c_3 \over 2}x^5 + {c_3 \over 4!}x^7 +\cdots \end{align}\! \)

Οι όροι μέχρι τέταρτης τάξεως είναι

\( =c_0 + c_1x + \left(c_2 - {c_0 \over 2}\right)x^2 + \left(c_3 - {c_1 \over 2}\right)x^3+\left(c_4+{c_0 \over 4!}-{c_2\over 2}\right)x^4 + \cdots\! \)

Συγκρίνοντας τους συντελεστές με την παραπάνω σειρά της εκθετικής συνάρτησης προκύπτει η επιθυμητή σειρά Taylor

\( \frac{e^x}{\cos x}=1 + x + x^2 + {2x^3 \over 3} + {x^4 \over 2} + \cdots.\! \)

Σειρές Taylor ως ορισμοί

Τυπικά, οι αλγεβρικές συναρτήσεις ορίζονται από μία αλγεβρική εξίσωση, και οι υπερβατικές συναρτήσεις ορίζονται από μία ιδιότητά τους, όπως μία διαφορική εξίσωση. Για παράδειγμα η εκθετική συνάρτηση είναι η συνάρτηση που είναι ίση με την παράγωγό της σε κάθε σημείο και έχει την τιμή 1 στην αρχή των αξόνων. Ωστόσο, μία αναλυτική συνάρτηση μπορεί να οριστεί και από την οικεία σειρά Taylor.

Οι σειρές Taylor χρησιμοποιούνται για τους ορισμούς συναρτήσεων και τελεστών σε ποικίλους τομείς των μαθηματικών. Συγκεκριμένα, σε τομείς όπου οι κλασικοί ορισμοί δεν αποδίδουν. Για παράδειγμα με την χρήση σειρών Taylor, μπορούν να οριστούν αναλυτικές συναρτήσεις πινάκων και τελεστών, όπως ο εκθετικός πίνακας ή ο λογαριθμικός πίνακας.

Σε άλλους τομείς, όπως η τυπική ανάλυση, είναι πιο βολικό να εργάζεται κανείς με δυναμοσειρές. Έτσι είναι δυνατόν να οριστεί μία διαφορική εξίσωση ως δυναμοσειρά η οποία να αποδειχθεί ότι είναι η επιθυμητή λύση της εξίσωσης.
Σειρά Taylor πολλών μεταβλητών

Η σειρά Taylor μπορεί να γενικευθεί σε συναρτήσεις πολλών μεταβλητών με

\( T(x_1,\dots,x_d) = \)

\( = \sum_{n_1=0}^\infty \cdots \sum_{n_d=0}^\infty \frac{(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}}{n_1!\cdots n_d!}\,\left(\frac{\partial^{n_1 + \cdots + n_d}f}{\partial x_1^{n_1}\cdots \partial x_d^{n_d}}\right)(a_1,\dots,a_d).\! \)

Για παράδειγμα, για μία συνάρτηση δύο μεταβλητών,x και y, η σειρά Taylor στο σημείο (a, b) και μέχρι δευτέρας τάξεως είναι:

\( \begin{align} f(x,y) & \approx f(a,b) +(x-a)\, f_x(a,b) +(y-b)\, f_y(a,b) \\ & {}\quad + \frac{1}{2!}\left[ (x-a)^2\,f_{xx}(a,b) + 2(x-a)(y-b)\,f_{xy}(a,b) +(y-b)^2\, f_{yy}(a,b) \right], \end{align} \)

όπου οι δείκτες υποδηλώνουν τις αντίστοιχες μερικές παραγώγους.

Το ανάπτυγμα δευτέρας τάξεως σειράς Taylor κλιμακωτής συνάρτησς πολλών μεταβλητών μπορεί να γραφτεί ως

\( T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + (\mathbf{x} - \mathbf{a})^T\mathrm{D} f(\mathbf{a}) + \frac{1}{2!} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^T \,\{\mathrm{D}^2 f(\mathbf{a})\}\,(\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots\! \,, \)

Οπου είναι \( D f(\mathbf{a})\! \) είναι η βαθμίδα της \( \,f \) στο \( \mathbf{x} = \mathbf{a} \) και \( D^2 f(\mathbf{a})\! \) είναι ο πίνακας του Hesse. Χρησιμοποιώντας συμβολισμό δεικτών η σειρά Taylor για πολλές μεταβλητές γίνεται

\( T(\mathbf{x}) = \sum_{|\alpha| \ge 0}^{}\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{a})^{\alpha}}{\alpha !}\,({\mathrm{\partial}^{\alpha}}\,f)(\mathbf{a})\,, \)

η οποία είναι συντετμιμένη εκδοχή πολλών δεικτών της πρώτης εξίσωσης της παραγράφου, σε πλήρη αναλογία με την περίπτωση της μίας μεταβλητής.
Παράδειγμα

Υπολογισμός αναπτύγματος σειράς Taylor μέχρι δευτέρας τάξεως γύρω από το (a,b) = (0,0) για την συνάρτηση

\( f(x,y)=e^x\log(1+y).\, \)

Αρχικά υπολογίζονται οι αναγκαίες μερικές παράγωγοι

\( f_x(a,b)=e^x\log(1+y)\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=0\,, \)

\( f_y(a,b)=\frac{e^x}{1+y}\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=1\,, \)

\( f_{xx}(a,b)=e^x\log(1+y)\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=0\,, \)

\( f_{yy}(a,b)=-\frac{e^x}{(1+y)^2}\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=-1\,, \)

\( f_{xy}(a,b)=f_{yx}(a,b)=\frac{e^x}{1+y}\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=1. \)

Η σειρά Taylor είναι

\( \begin{align} T(x,y) = f(a,b) & +(x-a)\, f_x(a,b) +(y-b)\, f_y(a,b) \\ &+\frac{1}{2!}\left[ (x-a)^2\,f_{xx}(a,b) + 2(x-a)(y-b)\,f_{xy}(a,b) +(y-b)^2\, f_{yy}(a,b) \right]+ \cdots\,,\end{align} \)

που σε αυτή την περίπτωση γίνεται

\( \begin{align}T(x,y) &= 0 + 0(x-0) + 1(y-0) + \frac{1}{2}\Big[ 0(x-0)^2 + 2(x-0)(y-0) + (-1)(y-0)^2 \Big] + \cdots \\ &= y + xy - \frac{y^2}{2} + \cdots. \end{align} \)

Αφού log(1 + y) είναι αναλυτική στο |y| < 1, προκύπτει

\( e^x\log(1+y)= y + xy - \frac{y^2}{2} + \cdots \)

για |y| < 1.
Κλασματική σειρά Taylor

Με την εμφάνιση του κλασματικού λογισμού, προέκυψε το ερώτημα για το ποια θα ήταν η επέκταση των σειρών Taylor στο νέο πεδίο. Οι Odibat και Shawagfeh[9] απάντησαν στο ερώτημα το 2007, χρησιμοποιώντας την κλασματική παράγωγο Caputo, \( 0<\alpha<1\,\!, \) και το \( x+\,\! \) που υποδεικνύει το όριο καθώς προσεγγίζεται το \( x\,\! \) από τα δεξιά, και έτσι η κλασματική σειρά Taylor γράφεται:

\( f(x+\Delta x) = f(x) + D_x^\alpha f(x+)\frac{(\Delta x)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} + D_x^\alpha D_x^\alpha f(x+)\frac{(\Delta x)^{2\alpha}}{\Gamma(2\alpha+1)} + \cdots. \)

Παραπομπές

↑ Kline, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press. pp. 35-37.
↑ Boyer, C. and Merzbach, U. (1991) A History of Mathematics. John Wiley and Sons. pp. 202-203.
↑ "Neither Newton nor Leibniz - The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala". MAT 314. Canisius College. Ανακτήθηκε την 2006-07-09.
↑ Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200-1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329-332.
↑ Rudin, Walter (1980), Real and Complex Analysis, New Dehli: McGraw-Hill, σελ. 418, Exercise 13, ISBN 0-07-099557-5
↑ Feller, William (1971), An introduction to probability theory and its applications, Volume 2 (3rd έκδοση), Wiley, σελ. 230–232.
↑ Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1957), Functional analysis and semi-groups, AMS Colloquium Publications, 31, American Mathematical Society, σελ. 300–327.
↑ Τα περισσότερα μπορούν να βρεθούν στο (Abramowitz & Stegun 1970).
↑ Odibat, ZM., Shawagfeh, NT., 2007. "Generalized Taylor's formula." Applied Mathematics and Computation 186, 286-293.

Αναφορές

Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1970), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, Ninth printing
Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison Wesley, ISBN 0-201-53174-7
Greenberg, Michael (1998), Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-321431-1

Wikipedia-logo.png Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Taylor series της Αγγλόγλωσσης Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).

Retrieved from "http://el.wikipedia.org/"
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License

Επιστήμη

Αλφαβητικός κατάλογος

Home