Ταυτότητα του Όιλερ

Η ταυτότητα του Όιλερ (Euler's identity) στη μαθηματική ανάλυση, είναι η εξίσωση

όπου

είναι ο αριθμός του Όιλερ, η βάση των φυσικών λογαρίθμων,

είναι ο φανταστικός αριθμός, ένας από τους δύο μιγαδικούς αριθμούς του οποίου το τετράγωνο ισούται με μείον ένα (ο άλλος είναι το ), και

ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του.

Πήρε το όνομά της από τον Λέοναρντ Όιλερ και μερικές φορές είναι γνωστή και ως εξίσωση του Όιλερ.

Απόδειξη

Η ταυτότητα είναι μια ειδική περίπτωση της φόρμουλας του Όιλερ, που λέει ότι

για κάθε πραγματικό αριθμό χ. (οι μονάδες δίνονται σε ακτίνια.) Συγκεκριμένα, αν

τότε

Αφού

και

αποδεικνύεται ότι

που δίνει την ταυτότητα

Όνομα

Αν και ο Όιλερ έγραψε για τη φόρμουλά του συνδέοντας το e με τους όρους ημίτονο και συνιμήτονο, δεν υπάρχει πουθενά αναφορά ότι ο ίδιος απέδειξε την απλοποιημένη μορφή της ταυτότητας. Ακόμα η ίδια η φόρμουλα είναι πιθανό να ήταν γνωστή πριν από τον Όιλερ. Είναι λοιπόν αδύνατο να απαντηθεί το ερώτημα αν η ταυτότητα μπορεί να αποδωθεί στον Όιλερ.

Αριθμός e