Συμμετρικό πολυώνυμο

Ορισμός

\( \mathcal{R}[x_1,...,x_n] \) ο δακτύλιος των πολυωνύμων στις μεταβλητές \( x_1,..,x_n \) με συντελεστές απο το μοναδιαίο δακτύλιο \( \mathcal{R} \) και \( \mathcal{S}_n \) η συμμετρική ομάδα βαθμού n.

Ένα πολυώνυμο \( f \in \mathcal{R}[x_1,..,x_n] \) θα καλείται συμμετρικό (symmetric polynomial) αν ισχύει ότι

\( f (x_1,..x_n)=f(x_{\pi(x_1)},...,x_{\pi(x_n)}) \) για κάθε μετάθεση \( π\in \mathcal{S}_n. \)
Παράδειγματα

Τα ακόλουθα πολυώνυμα είναι συμμετρικά

\( s_1=x_1+..+x_n \)

\( s_2=x_1x_2+...+x_1x_n+....x_{n-1}x_n \)

.....

\( s_n=x_1x_2..x_n \)

Τα πολυώνυμα αυτά καλούνται στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα (elementary symmetric polynomials) και προκύπτουν (με προσέγγιση προσήμου),ως συντελεστές του πολυωνύμου

\( (x-x_1)....(x-x_n)=x^n-s_1x^{n-1}+s_2x^{n-2}-...+(-1)^ns_n\in \mathcal{R}[x_1...,x_n][x] \)