Ένα σύνολο X ονομάζεται υποσύνολο (subset) ενός συνόλου Y και συμβολίζουμε με \( X \subseteq Y \), εάν κάθε στοιχείο του X είναι και στοιχείο (ανήκει) του Y δηλαδή ισχύει:

\( \forall x(x \in X \rightarrow x \in Y) \)

Ακόμα χρησιμοποιούμε την ορολογία: το σύνολο X περιέχεται στο σύνολο Y ή ακόμα ότι το σύνολο Y είναι υπερσύνολο του συνόλου X και γράφουμε \( X \subseteq Y \). Μπορούμε να θεωρήσουμε το \subseteq ως τη σχέση που αποτελείται από όλα τα διατεταγμένα ζεύγη (X, Y) για τα οποία ισχύει X \subseteq Y.

Παραδείγματα:

το σύνολο όλων των ανδρών είναι υποσύνολο του συνόλου όλων των ανθρώπων
\( \{1,3\} \subseteq \{1,2,3,4\} \)
\( \{1, 2, 3, 4\} \subseteq \{1,2,3,4\} \)

Αναφέρουμε ότι: το κενό σύνολο \emptyset είναι υποσύνολο κάθε συνόλου και επίσης κάθε σύνολο Α είναι υποσύνολο του εαυτού του.

\( \emptyset \subseteq A \)για κάθε σύνολο Α
\( A \subseteq A για κάθε σύνολο Α \)

Γνήσιο υποσύνολο
Το A είναι γνήσιο υποσύνολο του B

Αν το σύνολο Χ είναι υποσύνολο του Υ αλλά Χ \neq Υ, δηλαδή αν υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του Υ το οποίο να μην ανήκει στο Χ, τότε λέμε ότι το σύνολο Χ είναι γνήσιο υποσύνολο του Υ και το συμβολίζουμε με X \( \subset Y ή με X\subsetneq Y. \)

Για παράδειγμα το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι γνήσιο υποσύνολο αυτού των ακεραίων, το σύνολο τον ακεραίων γνήσιο υποσύνολο αυτού των ρητών και το σύνολο των ρητών γνήσιο υποσύνολο των πραγματικών.

\( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \)

Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Scientific Library