Στα μαθηματικά ονομάζουμε σειρά (Series) το άθροισμα των όρων μιας ακολουθίας. Συνήθως με τον όρο σειρά εννοούμε άπειρη σειρά, δηλαδή το άθροισμα μιας ακολουθίας με άπειρο πλήθος όρων.

Για την ακρίβεια, σειρά ονομάζεται η ακολουθία \( (s_n)_{n\in \mathbb{N}} \) των μερικών αθροισμάτων

\( s_n = \alpha_1 + \ldots + \alpha_n \)

Η σειρά, δηλαδή η ακολουθία μερικών αθροισμάτων, διαφέρει από το άθροισμα της σειράς, δηλαδή το όριο της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων, το οποίο σημειώνεται με

\( s = \sum_{n=1}^\infty \alpha_n \)

εφόσον το όριο αυτό υπάρχει, δηλαδή εφόσον η σειρά συγκλίνει.

Ορισμός

Ονομάζουμε σειρά κάθε άπειρο άθροισμα της μορφής:

\( \alpha_1 + \alpha_2 + \ldots \)

Αν (\alpha_n)_{n\in \mathbb{N}} είναι μια πραγματική ακολουθία, τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε μια καινούργια ακολουθία (s_n)_{n\in \mathbb{N}} ως εξής:

\( \ s_1 = \alpha_1 \)
\( \ s_2 = \alpha_1 + \alpha_2 \)
\( \vdots \)
\( s_n = \alpha_1 + \ldots + \alpha_n \)

Η ακολουθία \( (s_n)_{n\in \mathbb{N}} \) ονομάζεται σειρά της \( (\alpha_n)_{n\in \mathbb{N}} \) και συμβολίζεται με \( \sum_{k = 1}^{\infty} \alpha_k ή με \alpha_1 + \alpha_2 + \ldots \).

Ο όρος \( \ \alpha_n \) ονομάζεται n-οστός προσθετέος της σειράς \( \sum_{k = 1}^{\infty} \alpha_k \) και ο όρος \( s_n = \sum_{k = 1}^{n} \alpha_k \) ονομάζεται n-οστό μερικό άθροισμα της σειράς.
Σύγκλιση Σειράς

Αν η ακολουθία (s_n)_{n\in \mathbb{N}} έχει όριο κάποιον πραγματικό αριθμό \( s \in \mathbb{R} \cup \lbrace +\infty, -\infty \rbrace \) τότε γράφουμε:

\( \sum_{k = 1}^{\infty}\alpha_k = s \)

και λέμε ότι η σειρά έχει άθροισμα \ s. Αν s \in \mathbb{R} τότε λέμε ότι η σειρά συγκλίνει στο \( \ s \) ενώ αν \( s = +\infty ή s = -\infty \) τότε λέμε ότι αποκλίνει στο \( +\infty ή -\infty \) αντίστοιχα. Αν η ακολουθία \( (s_n)_{n\in \mathbb{N}} \) δεν έχει όριο τότε λέμε απλώς ότι η σειρά αποκλίνει.

Αποδεικνύεται ότι αν μια σειρά \( \sum_{k = 1}^{\infty} \alpha_k \) συγκλίνει τότε η ακολουθία \( (\alpha_n)_{n\in \mathbb{N}} \) συγκλίνει στο μηδέν.

Απόλυτη Σύγκλιση και Σύγκλιση υπό Συνθήκη

Μια σειρά

\( \sum_{k = 1}^{\infty} \alpha_k \)

λέμε ότι συγκλίνει απολύτως αν η σειρά:

\( \sum_{k = 1}^{\infty} |\alpha_k| \)

συγκλίνει. Λέμε ότι συγκλίνει υπό συνθήκη αν συγκλίνει αλλά δεν συγκλίνει απολύτως.

Κριτήριο Σύγκλισης Cauchy

Μια σειρά \( \sum_{k = 1}^{\infty} \alpha_k \) συγκλίνει αν και μόνο αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της είναι Cauchy δηλ. για κάθε \( \ \epsilon > 0 \) υπάρχει\( \ N = N(\epsilon) > 0 \)ώστε:

αν \( n > m \geq N \) , τότε\( \ |s_n - s_m|<\epsilon \), δηλ. \( |\alpha_{m+1} + \ldots + \alpha_{n}|<\epsilon. \)

Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Scientific Library