Σάλπιγγα του Γαβριήλ

Η Σάλπιγγα του Γαβριήλ (που επίσης λέγεται και τρομπέτα του Τοριτσέλι) είναι ένα σχήμα που επινοήθηκε από τον Εβαντζελίστα Τοριτσέλι και το οποίο έχει άπειρο εμβαδό, αλλά πεπερασμένο όγκο. Η ονομασία του αναφέρεται στη θρησκευτική παράδοση που θέλει τον Αρχάγγελο Γαβριήλ να φυσά τη σάλπιγγα που αναγέλλει τη Ημέρα της Κρίσης, συνδέοντας έτσι το άπειρο με το θείο.

Η Σάλπιγγα του Γαβριήλ σχηματίζεται αν πάρουμε τη γραφική παράσταση του , στο διάστημα (αποφεύγοντας έτσι την απροσδιοριστία στο σημείο x=0) και περιστρέφοντάς την σε τρεις διαστάσεις γύρω από τον άξονα των x. Η ανακάλυψη έγινε χρησιμοποιώντας την αρχή του Καβαλιέρι και πριν την ανάπτυξη της μαθηματικής ανάλυσης, όμως σήμερα η μαθηματική ανάλυση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστεί ο όγκος και το εμβαδό της Σάλπιγγας στο διάστημα από x = 1 μέχρι x = a, όπου a > 1. Χρησιμοποιώντας ολοκληρωτικό λογισμό (δείτε τα Στερεό εκ περιστροφής και Επιφάνεια εκ περιστροφής για λεπτομέρειες), είναι δυνατό να υπολογιστεί ο όγκος V και το εμβαδό A:

Το a μπορεί να γίνει όσο μεγάλο χρειάζεται, αλλά από την εξίσωση φαίνεται ότι ο όγκος του τμήματος της Σάλπιγγας μεταξύ x = 1 και x = a ποτέ δεν θα ξεπεράσει το π - όμως, θα πλησιάζει ολοένα το π καθώς το a γίνεται μεγαλύτερο. Ή αλλιώς, με τη μαθηματική ορολογία, λέμε ότι ο όγκος "τείνει στο π όταν το a τείνει στο άπειρο", που σημαίνει ότι ο όγκος της Σάλπιγγας ισούται με π για μεγάλα a. Το παραπάνω μπορεί να γραφεί σε μορφή ορίου:

Όσο για το εμβαδό, τα παραπάνω δείχνουν ότι αυτό είναι μεγαλύτερο από 2π φορές το φυσικό λογάριθμο του a. Δεν υπάρχει άνω όριο για το φυσικό λογάριθμο του a καθώς αυτό τείνει στο άπειρο. Αυτό σημαίνει, στην περίπτωση που εξετάζουμε, ότι η Σάλπιγγα έχει άπειρη επιφάνεια. Γράφοντας πάλι αυτή τη διαπίστωση σαν όριο:

Την εποχή που ανακαλύφθηκαν τα παραπάνω, θεωρήθηκαν παραδοξολογίες - καθώς με την περιστροφή μιας άπειρης επιφάνειας γύρω από τον άξονα των x δημιουργείται ένας πεπερασμένος όγκος. Αυτό, με ανεπίσημους όρους, έχει περιγραφεί ως το ισοδύναμο μιας κατάστασης όπου θα χρειαζόταν άπειρη ποσότητα μπογιάς για να βαφεί η εσωτερική επιφάνεια, θα αρκούσε ωστόσο το να γεμίσουμε τον εσωτερικό όγκο με πεπερασμένη ποσότητα μπογιάς έτσι ώστε να καλυφθεί και η εσωτερική επιφάνεια.

Το παράδοξο λύνεται αν σκεφτούμε ότι ο ισχυρισμός πως μια άπειρη επιφάνεια απαιτεί άπειρη ποσότητα μπογιάς προϋποθέτει ότι η μπογιά έχει σταθερή πυκνότητα. Αυτό όμως θεωρητικά δεν συμβαίνει στο εσωτερικό της Σάλπιγγας, και στην πράξη το μεγαλύτερο μέρος της θα ήταν μη προσβάσιμο από τη μπογιά, καθώς η διάμετρός της θα ήταν μικρότερη από τη διάμετρο ενός μορίου μπογιάς. Ακόμα όμως κι αν θεωρήσουμε τη μπογιά χωρίς πυκνότητα, και τα μόριά της χωρίας διαστάσεις, θα απαιτούνταν άπειρα μεγάλος χρόνος ώστε η μπογιά να φτάσει μέχρι την "άκρη" της Σάλπιγγας.

Άλλος ένας τρόπος να περιγραφεί το παραπάνω παράδοξο είναι να διαπιστώσουμε ότι κάποιος θα μπορούσε να γεμίσει το εσωτερικό της Σάλπιγγας με μπογιά, ποτέ όμως δεν θα έχει αρκετή ώστε να βάψει το εξωτερικό της.