Δακτύλιος (άλγεβρα)

Δακτύλιος στα μαθηματικά λέγεται μια αλγεβρική δομή, \( <R,+,*> \), η οποία αποτελείται από ένα σύνολο R, εφοδιασμένο με δύο διμελείς πράξεις + και * που ορίζονται σε αυτό, και οι οποίες αποκαλούνται αντίστοιχα πρόσθεση και πολλαπλασιασμός, έτσι ώστε να ικανοποιούνται τα ακόλουθα αξιώματα:

Το \( <R,+> \) (δηλ. το R μαζί με την πρόσθεση +) είναι μια αβελιανή ομάδα με ουδέτερο στοιχείο το 0:
(a + b) + c = a + (b + c)
a + b = b + a
0 + a = a + 0 = a
∀a ∃(−a) τέτοιο ώστε a + −a = −a + a = 0
Ο πολλαπλασιασμός (*) ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα (δηλ.α*(β*γ)=(α*β)*γ).
Ο πολλαπλασιασμός (*) είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση. Δηλαδή, για κάθε a,b,c\in R ισχύουν ο αριστερός επιμεριστικός νόμος, a*(b+c)=a*b+a*c και ο δεξιός επιμεριστικός νόμος (a+b)*c=a*c+b*c.

Εάν επιπλέον ορίζεται στον δακτύλιο μοναδιαίο στοιχείο, δηλαδή ουδέτερο στοιχείο ως προς τον πολλαπλασιασμό (*), ο δακτύλιος λέγεται δακτύλιος με μοναδιαίο,δακτύλιος με μονάδα ή 1-δακτύλιος.

Αν ο πολλαπλασιασμός είναι μεταθετικός, δηλαδή ισχύει a*b=b*a, ∀a, b, τότε ο δακτύλιος λέγεται αντιμεταθετικός ή μεταθετικός.

Έστω R ένας δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο, που θα το συμβολίζουμε με 1. Ένα στοιχείο \( u\in R \) λέγεται αντιστρέψιμο αν έχει πολλαπλασιαστικό αντίστροφο στον R, δηλαδη:
To u είναι αντιστρέψιμο, αν και μόνο αν υπάρχει \( b\in R \) τέτοιο ώστε a*b=1=b*a

.

Αν κάθε μη μηδενικό στοιχείο του R είναι αντιστρέψιμο , τότε ο R λέγεται δακτύλιος διαίρεσης.

Ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος διαίρεσης είναι σώμα. Ειδικότερα, κάθε σώμα είναι δακτύλιος.

Πρέπει να τονιστεί ότι οι δύο πράξεις + και * που περιγράφονται εδώ μπορούν να είναι οποιεσδήποτε δύο πράξεις που ικανοποιούν τις συνθήκες που αναφέρονται πιο πάνω, όχι αναγκαστικά η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. Έχει επικρατήσει να ονομάζονται "πρόσθεση" και "πολλαπλασιασμός" οι δύο αυτές πράξεις των δακτυλίων για λόγους απλότητας.
Παραδείγματα

Το μονοσύνολο που περιέχει το μηδέν είναι δακτύλιος κατά τετριμμένο τρόπο.
Το σύνολο των ακεραίων αριθμών με τη συνήθη πρόσθεση και το συνήθη πολλαπλασιασμό είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος.
Οι ακέραιοι του Γκάους με τη συνήθη πρόσθεση και το συνήθη πολλαπλασιασμό αποτελούν αντιμεταθετικό δακτύλιο.
Tο σύνολο των n \times n πινάκων με συνιστώσες (εγγραφές) από ένα σώμα αποτελεί έναν δακτύλιο με μοναδιαίο στοιχείο που είναι μεταθετικός μόνο για n=1 .

Δείτε ακόμη

Αντιμεταθετικός δακτύλιος
Δακτύλιος ακεραίων
Ακέραια περιοχή
Σώμα