Η συνάρτηση ζήτα (Riemann Zeta function) ή συνάρτηση ζήτα του Riemann, από το όνομα του Γερμανού μαθηματικού Μπέρναρντ Ρίμαν είναι μια συνάρτηση με ιδιαίτερη σημασία στη θεωρία αριθμών, λόγω της σχέσης της με την κατανομή των πρώτων αριθμών. Έχει επίσης εφαρμογές σε άλλα πεδία, όπως η φυσική, η θεωρία πιθανοτήτων και η εφαρμοσμένη στατιστική.

Ορισμός
Η ζήτα συνάρτηση για πραγματικούς μεγαλύτερους του 1.

Η συνάρτηση ζήτα \zeta(s) είναι συνάρτηση μιας μιγαδικής μεταβλητής s και ορίζεται με τη βοήθεια της ακόλουθης άπειρης σειράς, όταν ο μιγαδικός αριθμός s έχει πραγματικό μέρος μεγαλύτερο της μονάδας:

\( \zeta(s)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^s} \)

Στην περιοχή \( \{s \in\mathbb{C}: Re(s) > 1\} \), αυτή η σειρά συγκλίνει και ορίζει μια συνάρτηση αναλυτική σε αυτή την περιοχή.

Η συνάρτηση ζήτα ορίζεται ως η αναλυτική επέκταση της πάνω συνάρτησης σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο, καθώς ο Riemann έδειξε ότι αυτή η αναλυτική επέκταση για Re(s) ≤ 1 και s≠1 υπάρχει και είναι μοναδική, ενώ στο σημείο s=1 του μιγαδικού επιπέδου προκύπτει η αρμονική σειρά η οποία αποκλίνει προς το +∞.

Η συνάρτηση ζήτα συνδέεται με τους πρώτους αριθμούς με την εξής σχέση, που ανακαλύφθηκε από τον Λέοναρντ Όιλερ:

\( \zeta(s)=\prod_{p\in\mathbb{P}} \frac{1}{1-p^{-s}}, \qquad s\in\mathbb{C}: Re(s) > 1 \),

όπου \mathbb{P} το σύνολο όλων των πρώτων αριθμών.

Αν ο s είναι ακέραιος, τότε ο παραπάνω τύπος του Όιλερ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της πιθανότητας s το πλήθος τυχαία επιλεγμένοι αριθμοί να είναι μεταξύ τους σχετικά πρώτοι. Η πιθανότητα αυτή αποδεικνύεται ότι ισούται με 1/ζ(s).
Επεκτάσεις

Η συνάρτηση ζήτα μπορεί να επεκταθεί αναλυτικά στην περιοχή \{s \in\mathbb{C}: Re(s) > 0\} σε μία μερομορφική συνάρτηση στην περιοχή αυτή με έναν πόλο τάξης 1 στο s=1. Η επεκταμένη αυτή συνάρτηση είναι:

\( \zeta(s)=\frac12+\frac1{s-1}-s\int_{1}^\infty \frac{saw(x)}{x^{s+1}}dx, \)

όπου \( saw(x)=x-\lfloor x\rfloor-1/2\quad \)( με \( \lfloor x\rfloor \) δηλώνεται το ακέραιο μέρος του \( \,x \)).

Η ζήτα συνάρτηση μπορεί να επεκταθεί αναλυτικά σε όλο το \mathbb{C} σε μία μερομορφική συνάρτηση στην περιοχή αυτή με έναν πόλο τάξής 1 στο s=1. Για \ Re(s) > 1-q η επεκταμένη αυτή συνάρτηση είναι:

\( \zeta(s)=\frac12+\frac1{s-1}+\sum_{r=2}^q \frac{B_r}{r!} s(s+1) \ldots (s+r-2) -\frac1{q!}s(s+1) \ldots (s+q-1)\int_{1}^\infty \frac{\tilde{B}_{q}(x)}{x^{s+q}}dx, \)

όπου \( \ B_{r} \) οι αριθμοί Bernoulli, \( \tilde{B}_{q}(x):=B_{q}(x-\lfloor x\rfloor), B_{q}(x) \) τα πολυώνυμα Bernoulli και όπου το q μπορεί να πάρει οσοδήποτε μεγάλη τιμή.

Σχέσεις

Συναρτησιακή εξίσωση της ζήτα συνάρτησης (functional equation):

\( \zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s),\qquad s \in\mathbb{C}, \)

όπου \( \Gamma\, \) η συνάρτηση γάμμα.

H συνάρτηση γάμμα (ή ακριβέστερα η αναλυτική προέκτασή της στο \( \mathbb{C}) \) έχει πόλους τάξης 1 στο \( s=-k,\,k\in\N_0 \). Η ζήτα συνάρτηση μηδενίζεται συνεπώς για \( s=-2k, k\in \N^* \).

Υπόθεση του Riemann

Η υπόθεση του Riemann είναι ένα από τα άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών. Δηλώνει ότι εκτός από τις τιμές \( s=-2k, k\in \N^* \) η συνάρτηση ζήτα μηδενίζεται μόνο για \( \,s \) με \( \,\text{Re}(s)=1/2 \).

Από την συναρτησιακή εξίσωση της συνάρτησης ζήτα και τις ιδιότητες της συνάρτησης γάμα προκύπτει ότι η συνάρτηση ζήτα για \( \,s\in\mathbb{C} \) με \( \,Re(s)<0 \) μηδενίζεται μόνο για \( s=-2k, k\in \N^* \). Στην περιοχή \( \{s \in\mathbb{C}: Re(s) > 1\} \) προφανώς δε μηδενίζεται. Επίσης αποδυκνείεται ότι \( \zeta(s)\neq0 για Re(s)\in\{0,1\} \). Συνεπώς οι υπόλοιπες τιμές που τη μηδενίζουν πρέπει να ικανοποιούν \( \,0<Re(s)<1 \).

Βιβλιογραφία

Μαθηματικά

J. Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, Springer, Berlin, 1992, ISBN 3-540-54273-6 (Γερμανικά)
Reinhard Remmert, Funktionentheorie 1, Springer, Berlin, 1992, ISBN 3-540-55233-2 (Γερμανικά)
Edward Charles Titchmarsh, The Zeta-Function of Riemann, 1930 (Αγγλικά)
Edward Charles Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function, 1951 (Αγγλικά)
Don Zagier, Zetafunktionen und quadratische Körper, Teil 1, § 4, Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1981, ISBN 3-540-10603-0 (Γερμανικά)

Ιστορική εξέλιξη

Marcus du Sautoy, H MOYΣIKH TΩN ΠPΩTΩN APIΘMΩN, Το μεγαλύτερο ανεπίλυτο μυστήριο των Μαθηματικών, Τραυλός, 2005, ISBN 960-6640-00-0 (Ελληνικά)
John Derbyshire, PRIME OBSESSION, Joshef Henry Press, ISBN 0-309-08549

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Αγγλικοί σύνδεσμοι:

Xavier Gourdon and Pascal Sebah: ορισμός
Xavier Gourdon and Pascal Sebah: γενικά
Xavier Gourdon and Pascal Sebah: υπολογισμοί
Xavier Gourdon and Pascal Sebah: ρίζες
P. CERONE: BOUNDS FOR ZETA AND RELATED FUNCTIONS, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Volume 6, Issue 5, Article 134, 2005
Zetagrid

Γερμανικοί σύνδεσμοι:

Graph der Riemannschen Zeta-Funktion (Animation)

Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Scientific Library