Τετραγωνικό σώμα

Ως τετραγωνικό σώμα (quadratic field) ορίζουμε ένα σώμα αριθμών K βαθμού 2 επί του \( \mathbb{Q} \). Επομένως \( K=\mathbb{Q}(\theta) \) όπου ο θ είναι αλγεβρικός ακέραιος και \( degIrr(\theta,\mathbb{Q})=2 \).

Εύκολα αποδυκνείεται οτι κάθε τετραγωνικό σώμα είναι της μορφής \( \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \) όπου \( d \in \mathbb{Z} \) και o d είναι ελεύθερος τετραγώνου. Αν d > 0 το σώμα ονομάζεται πραγματικό τετραγωνικό σώμα ενώ αν d < 0 τότε ονομάζεται μιγαδικό τετραγωνικό σώμα.

Τα τετραγωνικά σώματα αρχικά μελετήθηκαν ως μέρος της θεωρίας των τετραγωνικών μορφών.

Γενικότερα για τους αριθμοθεωρητικούς ενδιαφέρον παρουσιάζει η γνώση του αριθμού κλάσεων ενός σώματος αριθμών. Το θεώρημα των Stark-Steiger (Σταρκ-Στάιγκερ) μας λέει ότι

Αν d < 0, τότε ο αριθμός κλάσεων του Q(√ d) είναι ίσος με 1 αν και μόνο αν d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, or −163.

Αντίστοιχο θεώρημα για τα πραγματικά τετραγωνικά σώματα δεν είναι γνωστό.

Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια