Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι σχέση της ευκλείδειας γεωμετρίας ανάμεσα στις πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου. Συνεπώς αποτελεί θεώρημα της επίπεδης γεωμετρίας.
Το πυθαγόρειο θεώρημα: το άθροισμα των τετραγώνων των 2 κάθετων πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας.

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, που εξ ονόματος αποδίδεται στον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Πυθαγόρα: «Εν τοις ορθογωνίοις τριγώνοις το από της την ορθήν γωνίαν υποτεινούσης πλευράς τετράγωνον ίσον εστί τοις από των την ορθήν γωνίαν περιεχουσών πλευρών τετραγώνοις».
Δηλαδή: «το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών».

Η παραπάνω πρόταση εκφράζεται με τον ακόλουθο τύπο:

α² = β² + γ².. - (όπου α = το μήκος της υποτείνουσας και β και γ = τα μήκη των δύο άλλων πλευρών)

Τη παραπάνω αρχαία διατύπωση της πρότασης του εν λόγω θεωρήματος παρέχει ο Ευκλείδης στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων Γεωμετρίας του (47η πρόταση) με σχετική απόδειξη που κατά παράδοση οφείλεται στον Πυθαγόρα, ο οποίος κατ' άλλη, επίσης αρχαία, παράδοση, μετά την ανακάλυψή του αυτή θυσίασε προς τους θεούς εκατόμβη, γι' αυτό και το θεώρημα αυτό ονομάσθηκε «Εκατόμβη» ή «Θεώρημα εκατόμβης».

Ισχύει και το αντίστροφο Πυθαγόρειο Θεώρημα: ότι δηλαδή, αν ισχύει η παραπάνω σχέση μεταξύ των πλευρών ενός τριγώνου, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Ιστορικά

Αν και το θεώρημα σήμερα φέρει το όνομα του Έλληνα μαθηματικού Πυθαγόρα, από ιστορικές έρευνες φαίνεται ότι είχε διατυπωθεί και νωρίτερα (ως εμπειρική παρατήρηση), γύρω στο 800 π.Χ., στην Ινδία από τον Baudhayana, στο βιβλίο Baudhayana Sulba Sutra (οδηγίες για κατασκευή ναών): Το σχοινί που εκτείνεται κατά μήκος της διαγωνίου ενός ορθογωνίου, παράγει επιφάνεια ίδια με αυτή της κάθετης και της οριζόντιας πλευράς. Από αιγυπτιακά μεγαλιθικά μνημεία των οποίων οι πλευρές είναι ακέραια πολλαπλάσια, φαίνεται ότι οι ιδιότητες των ορθογωνίων τριγώνων και οι σχέσεις των πλευρών τους, ήταν γνωστές από πολύ παλιά. Ο Πυθαγόρας απέδειξε το Πυθαγόρειο θεώρημα με θεωρητική γεωμετρία χρησιμοποιώντας λογικές αποδείξεις και κανόνα και διαβήτη.
Απόδειξη
Ορθογώνιο τρίγωνο με το ύψος της υποτείνουσας.

Το πυθαγόρειο θεώρημα αποδεικνύεται με πάνω από έναν τρόπους:

Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων:

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία την Α. Θεωρώ το ύψος της υποτείνουσας ότι την τέμνει στο σημείο Δ. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΑ είναι όμοια μεταξύ τους ως ορθογώνια τρίγωνα με ίδια τη γωνία Β. Παρομοώς τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΓΑ είναι όμοια μεταξύ τους με ίδια τη γωνία Γ. Ισχύει, λοιπόν:

\( \textstyle \frac{\Alpha\Beta}{\Beta\Gamma}=\frac{\Delta\Beta}{\Alpha\Beta} \Rightarrow \scriptstyle (\Alpha\Beta)^{2}=(\Beta\Gamma)(\Delta\Beta), \)
και παρομοίως \( (\Alpha\Gamma)^{2}=(\Beta\Gamma)(\Delta\Gamma). \)

Αν προσθέσουμε τις δυο αυτές εξισώσεις έχουμε:

\( (\Alpha\Beta)^{2}+(\Alpha\Gamma)^{2} = (\Beta\Gamma)(\Delta\Beta)+(\Beta\Gamma)(\Delta\Gamma) = (\Beta\Gamma)(\Delta\Beta+\Delta\Gamma) = (\Beta\Gamma)^{2} . \)

Τετράγωνο πλευράς a + b

Απόδειξη με εμβαδά

Θεωρούμε ένα τετράγωνο πλευράς a + b και σχεδιάζουμε σε αυτό τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές a και b και υποτείνουσα c, έτσι ώστε στο κέντρο να έχουμε τετράγωνο πλευράς c (βλ. σχήμα).

Υπολογίζουμε το εμβαδό του τετραγώνου προσθέτοντας το εμβαδό του μικρότερου τετραγώνου καθώς και τα εμβαδά των τεσσάρων τριγώνων:

\( c^2+2ab \)

Αφού πρόκειται για τετράγωνο πλευράς a + b το εμβαδό του ισούται επίσης με:

\( a^2+b^2+2ab . \)

Εξισώνοντας τις δυο αυτές σχέσεις προκύπτει:

\( a^2+b^2+2ab= c^2+2ab \)
ή \( a^2+b^2= c^2. \)

Πυθαγόρειες τριάδες

Οι φυσικοί αριθμοί που ικανοποιούν την εξίσωση α² = β² + γ² ονομάζονται πυθαγόρειες τριάδες. Η πιο μικρή είναι η (3,4,5), με 3²+4²=5². Άλλες πυθαγόρειες τριάδες είναι οι (5, 12, 13) αφού 5²+12²=13², και η (7, 24, 25) αφού 7²+24²=25². Αποδεικνύεται ότι αν α, β, γ μια πυθαγόρεια τριάδα τότε και οι αριθμοί κα, κβ και κγ, όπου κ φυσικός αριθμός, αποτελούν επίσης πυθαγόρεια τριάδα, π.χ. πυθαγόρειες τριάδες είναι οι (3,4,5), (6,8,10), (9, 12, 15) κλπ. Ακολουθεί λίστα με τις πυθαγόρειες τριάδες που έχουν όλους τους όρους τους μικρότερους από 100 και δεν είναι πολλαπλάσια άλλων πυθαγόρειων τριάδων: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97).

Γενικεύσεις

Μια γενίκευση του πυθαγόρειου θεωρήματος αποτελεί ο νόμος των συνημιτόνων. Σύμφωνα με αυτόν ισχύει για κάθε τρίγωνο:

\( \alpha^2=\beta^2+\gamma^2-2\beta\gamma\cos\mathrm{A} ,\)

όπου Α η γωνία απέναντι από την πλευρά α. Για γωνία Α ίση με 90 μοίρες είναι \(\cos\mathrm{A}=0 \), οπότε προκύπτει το πυθαγόρειο θεώρημα.
Αντίστροφο πυθαγόρειου θεωρήματος

Από το πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει και το αντίστροφο, που λέει ότι Αν σε ένα οποιοδήποτε τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των μικρότερων πλευρών του τριγώνου ισούται με το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα τη μεγαλύτερη πλευρά και ορθή γωνία αυτή απέναντι από την υποτείνουσα.

Βιβλιογραφία

Anna M. Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1994. ISBN 3-86025-669-6
Hans Schupp: Elementargeometrie. UTB, Stuttgart 1977. ISBN 3-506-99189-2
Paul Karlson: Vom Zauber der Zahlen. Eine unterhaltsame Mathematik für Jedermann. Ullstein, Berlin 1954 (Zitate Proklos nach S. 103, 118).
Egmont Colerus: Vom Einmaleins zum Integral. Mathematik für Jedermann. Rowohlt, Reinbek 1982. ISBN 3-499-16692-5
Heinrich Tietze: Mathematische Probleme. Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit. Vierzehn Vorlesungen für Laien und Freunde der Mathematik. C.H. Beck, München 1990. ISBN 3-406-02535-8
Wilhelm Capelle (Hrsg.): Die Vorsokratiker. Alfred Kröner, Stuttgart 1963. (Zitat Plutarch nach S. 102). ISBN 3-520-11908-0
Alexander K. Dewdney: Reise in das Innere der Mathematik. Birkhäuser, Berlin 2000. ISBN 3-7643-6189-1
Simon Singh: Fermats letzter Satz. dtv, München 2000. ISBN 3-423-33052-X

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Απόδειξη του θεωρήματος (γερμανικά)
Απόδειξη του θεωρήματος (αγγλικά)
Java-Applets (αγγλικά)
Διαδραστικό διδακτικό λογισμικό με απόδειξη, ασκήσεις και άλλους εξωτερικούς συνδέσμους

Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Scientific Library