.
Αριθμητική ανάλυση
Η αριθμητική ανάλυση (Numerical Analysis) ασχολείται με τον σχεδιασμό, την κατασκευή και την μελέτη αλγορίθμων για την προσέγγιση με ικανοποιητικό τρόπο, των λύσεων προβλημάτων τα οποία μπορούν να εκφραστούν με μαθηματικά μοντέλα.
Ένα από τα παλαιότερα μαθηματικά κείμενα είναι μια Βαβυλωνιακή πλάκα από το 7289 π.Χ η οποία δίνει την εξηνταδική προσέγγιση της \( \sqrt{2} \) το μήκος μιας διαγωνίου είναι μια μονάδα στο τετράγωνο. Η δυνατότητα υπολογισμού των πλευρών του τριγώνου (και ως εκ τούτου, ο υπολογισμός τετραγωνικών ριζών) είναι εξαιρετικά σημαντική για παράδειγμα σε ξυλουργικές εργασίας και κατασκευές.[2]
Η αριθμητική ανάλυση συνεχίζει τη μακρά αυτή παράδοση των πρακτικών μαθηματικών υπολογισμών. Όπως και με την προσέγγιση των Βαβυλωνίων της \( \sqrt{2} \), η σύγχρονη αριθμητική ανάλυση δεν επιδιώκει ακριβείς απαντήσεις, επειδή ακριβώς απαντήσεις είναι συχνά αδύνατο να επιτευχθούν στην πράξη. Αντ 'αυτού, ένα μεγάλο μέρος της αριθμητικής ανάλυσης ασχολείται με την απόκτηση προσεγγιστικής λύσεις με παράλληλη διατήρηση λογικών ορίων στα σφάλματα.
Η αριθμητική ανάλυση βρίσκει εφαρμογές σε όλους τους τομείς της μηχανικής και των φυσικών επιστημών, αλλά στον 21ο αιώνα, οι επιστήμες της ζωής και ακόμη και οι τέχνες έχουν υιοθετήσει στοιχεία των επιστημονικών υπολογισμών. Οι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις εμφανίζονται στην κίνηση των ουρανίων σωμάτων (πλανήτες, αστέρια και γαλαξίες) η βελτιστοποίηση συμβαίνει στον τομέα της διαχείρισης χαρτοφυλακίων. Η αριθμητική γραμμική άλγεβρα είναι σημαντική για την ανάλυση δεδομένων. Οι στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις και οι αλυσίδες Markov είναι απαραίτητες για την προσομοίωση ζωντανών κυττάρων για την ιατρική και τη βιολογία.
Πριν από την εμφάνιση των σύγχρονων υπολογιστών η εφαρμογή των αριθμητικών μεθόδων συχνά εξαρτιόνταν από τον άνθρωπο και γινόταν σε μεγάλους έντυπους πίνακες . Από τα μέσα του 20ου αιώνα, οι υπολογιστές υπολογίζουν τις απαιτούμενες λειτουργίες. Αυτοί οι ίδιοι τύποι παρεμβολής, ωστόσο εξακολουθούν να χρησιμοποιούνται ως μέρος των αλγορίθμων του λογισμικού για την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων.
Γενική εισαγωγή
Ο γενικός στόχος του τομέα της αριθμητικής ανάλυσης είναι ο σχεδιασμός και η ανάλυση των τεχνικών που δίνουν ακριβή προσέγγιση σε δύσκολα προβλήματα, η ποικιλία των οποίων φαίνεται παρακάτω.
Σύνθετες αριθμητικές μέθοδοι είναι απαραίτητοι για να είναι η αριθμητική πρόγνωση καιρού είναι εφικτή.
Ο υπολογισμός της τροχιάς ενός διαστημικού οχήματος απαιτεί την ακριβή αριθμητική επίλυση ενός συστήματος συνήθων διαφορικών εξισώσεων.
Βιομηχανίες οχημάτων μπορούν να βελτιώσουν την ασφάλεια στις συγκρούσεις των οχημάτων τους, χρησιμοποιώντας προσομοιώσεις σε υπολογιστή των τροχαίων ατυχημάτων. Οι εν λόγω προσομοιώσεις αποτελούνται κυρίως από την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων αριθμητικά.
Τα κεφάλαια Hedge (ιδιωτικά επενδυτικά κεφάλαια) χρησιμοποιούν εργαλεία από όλους τους τομείς της αριθμητικής ανάλυσης για τον υπολογισμό της αξίας των αποθεμάτων και των παραγώγων του με μεγαλύτερη ακρίβεια από άλλους συμμετέχοντες στην αγορά.
Οι αεροπορικές εταιρείες χρησιμοποιούν πολύπλοκους αλγόριθμους βελτιστοποίησης για την απόφαση των τιμών των εισιτηρίων, αναθέσεις πληρωμάτων σε αεροσκάφος και τις ανάγκες των καυσίμων. Το πεδίο αυτό ονομάζεται επίσης και επιχειρησιακή έρευνα.
Οι ασφαλιστικές εταιρείες χρησιμοποιούν αριθμητικές μεθόδους για την αναλογιστική ανάλυση.
Ιστορία
Το πεδίο της αριθμητικής ανάλυσης προϋπήρχε της εφεύρεσης των σύγχρονων υπολογιστών από πολλούς αιώνες. Η γραμμική παρεμβολή ήταν ήδη σε χρήση πάνω από 2000 χρόνια πριν. Πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί του παρελθόντος ασχολήθηκαν με την αριθμητική ανάλυση, όπως είναι προφανές από τα ονόματα των σημαντικών αλγορίθμων, όπως η μέθοδος του Νεύτωνα, παρεμβολή Lagrange, μέθοδος απαλοιφής Γκάους και η μέθοδος Όιλερ.
Για τη διευκόλυνση των υπολογισμών με το χέρι, μεγάλα βιβλία παρήχθησαν με τύπους και τους πίνακες των δεδομένων, όπως τα σημεία παρεμβολής και συντελεστές λειτουργίας. Χρησιμοποιώντας τους πίνακες αυτούς, υπολόγιζαν έως και 16 δεκαδικά ψηφία ή περισσότερα για ορισμένες λειτουργίες, θα μπορούσε κανείς να κοιτάζω προς τα πάνω τις τιμές για να δοθεί βύσμα τους τύπους και να επιτύχει πολύ καλές αριθμητικές εκτιμήσεις κάποιων λειτουργιών. Η κανονική εργασία στον τομέα είναι η δημοσίευση NIST επιμελημένη από Αμπράμοβιτς και Stegun, ένα 1000 σελίδων του βιβλίου ενός πολύ μεγάλου αριθμού των τύπων που χρησιμοποιούνται συνήθως και τις λειτουργίες και τις αξίες τους σε πολλά σημεία. Οι τιμές λειτουργίας δεν είναι πλέον πολύ χρήσιμος όταν ένας υπολογιστής είναι διαθέσιμος, αλλά η μεγάλη λίστα των τύπων μπορεί ακόμα να είναι πολύ βολική.
Η μηχανική αριθμομηχανή επίσης αναπτύχθηκε ως ένα εργαλείο για τον υπολογισμό με το χέρι. Αυτοί οι υπολογιστές έχουν εξελιχθεί σε ηλεκτρονικούς υπολογιστές τη δεκαετία του 1940, και στη συνέχεια διαπιστώθηκε ότι αυτοί οι υπολογιστές ήταν επίσης χρήσιμοι για διοικητικούς σκοπούς. Όμως, η ανακάλυψη του υπολογιστή επηρέασε επίσης τον τομέα της αριθμητικής ανάλυσης, δεδομένου ότι τώρα πλέον ήταν εφικτοί και πιο πολύ πολύπλοκοι υπολογισμοί.
Άμεσες και επαναληπτικές μέθοδοι
Άμεσες εναντίον επαναληπτικών μεθόδων
Εξετάστε την επίλυση του προβλήματος
3x3 + 4 = 28
για την άγνωστη ποσότητα x.
Άμεση μέθοδος 3x3 + 4 = 28.
Αφαίρεσε 4 3x3 = 24.
Διαίρεσε με το 3 x3 = 8.
Πάρε κυβική ρίζα x = 2.
Για την επαναληπτική μέθοδο, εφάρμοσε την μέθοδο διχοτόμησης σε f(x) = 3x3 − 24. Οι αρχικές τιμές είναι a = 0, b = 3, f(a) = −24, f(b) = 57.
Επαναληπτική μέθοδος a b μέση f(μέση)
0 3 1.5 −13.875
1.5 3 2.25 10.17...
1.5 2.25 1.875 −4.22...
1.875 2.25 2.0625 2.32...
Καταλήγουμε στο αποτέλεσμα ότι λύση είναι ανάμεσα στο 1.875 και 2.0625. Ο αλγόριθμος μπορεί να επιστέψει οποιοδήποτε αριθμό μέσα σε αυτό το διάστημα με σφάλμα λιγότερο από 0.2.
Διακριτοποίηση και αριθμητική ολοκλήρωση
Σε έναν δίωρο αγώνα, μετρήσαμε την ταχύτητα του αυτοκινήτου σε τρις χρονικές στιγμές και τις καταγράψαμε στον παρακάτω πίνακα.
Χρόνος 0:20 1:00 1:40
Χλμ/ω 140 150 180
Ηδιακριτοποίηση θα μας έλεγε ότι η ταχύτητα του αυτοκινήτου ήταν σταθερή από 0:00 έως 0:40, μετά από 0:40 έως 1:20 και τέλος από 1:20 έως 2:00. Γεια παράδειγμα η συνολική απόσταση που ταξίδεψε στα πρώτα 40 λεπτά είναι περίπου (2/3h × 140 km/h) = 93.3 Χλμ. Αυτό θα μας επέτρεπε να εκτιμήσουμε την συνολική απόσταση ως εξής 93.3 χλμ + 100 kχλμ m + 120 χλμ = 313.3 χλμ , αυτό είναι παράδειγμα αριθμητικής ολοκλήρωσης χρησιμοποιώντας άθροισμα Ρήμαν.
Οι άμεσες μέθοδοι υπολογίζουν τη λύση ενός προβλήματος σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Αυτές οι μέθοδοι θα δώσουν σαφή απάντηση, εάν είχαν πραγματοποιηθεί με άπειρη αριθμητική ακρίβεια. Τα παραδείγματα περιλαμβάνουν την μέθοδος απαλοιφής του Γκάους, την παραγοντοποίηση QR για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, και τη μέθοδο simplex του γραμμικού προγραμματισμού. Στην πράξη, πεπερασμένη ακρίβεια χρησιμοποιείται και το αποτέλεσμα είναι μια προσέγγιση της πραγματική λύσης (με την παραδοχή της σταθερότητας).
Σε αντίθεση με τους άμεσους μεθόδους, οι επαναληπτικές μέθοδοι δεν αναμένεται να τελειώσουν σε ορισμένα βήματα. Ξεκινώντας από την αρχική υπόθεση, οι επαναληπτικές μέθοδοι αποτελούν διαδοχικές προσεγγίσεις που συγκλίνουν προς την ακριβή λύση μόνο στο όριο. Μια δοκιμή σύγκλισης προσδιορίζεται, προκειμένου να αποφασιστεί πότε μια αρκούντως ακριβή λύση (ευτυχώς) έχει βρεθεί. Ακόμη και με άπειρη αριθμητική ακρίβεια αυτές οι μέθοδοι δεν θα φθάσουν τη λύση μέσα σε ένα πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Παραδείγματα αποτελούν η μέθοδος του Νεύτωνα, η μέθοδο διχοτόμησης, και η επανάληψη Jacobi. Στην υπολογιστική άλγεβρα πινάκων, οι επαναληπτικές μέθοδοι γενικά απαιτούνται για μεγάλα προβλήματα.
Οι επαναληπτικές μέθοδοι είναι πιο συχνές από τις άμεσες μεθόδους στην αριθμητική ανάλυση. Μερικές μέθοδοι είναι άμεσες, κατ 'αρχήν, αλλά συνήθως χρησιμοποιούνται σαν να μην ήταν, π.χ. GMRES και η μέθοδος συζυγούς κλίσης. Για τις μεθόδους αυτές, ο αριθμός των βημάτων που απαιτούνται για να λάβει την ακριβή λύση είναι τόσο μεγάλη, ότι η προσέγγιση είναι αποδεκτή με τον ίδιο τρόπο όπως και για μια επαναληπτική μέθοδο.
Παραπομπές
↑ Photograph, illustration, and description of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection
↑ The New Zealand Qualification authority specifically mentions this skill in document 13004 version 2, dated 17 October 2003 titled CARPENTRY THEORY: Demonstrate knowledge of setting out a building
Retrieved from "http://el.wikipedia.org/"
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License
