Στα μαθηματικά ο όρος φυσικός αριθμός μπορεί να σημαίνει είτε ένα στοιχείο του συνόλου {1, 2, 3, ...} (δηλαδή τους θετικούς ακέραιους ή "απαριθμητικούς αριθμούς") ή ένα στοιχείο του συνόλου {0, 1, 2, 3, ...} (δηλαδή τους μη αρνητικούς ακέραιους.) Η πρώτη ερμηνεία χρησιμοποιείται γενικά στη θεωρία αριθμών, ενώ η δεύτερη συνήθως προτιμάται στη μαθηματική λογική, τη θεωρία συνόλων και την επιστήμη υπολογιστών.

Οι φυσικοί αριθμοί έχουν δύο κύριες χρήσεις: μπορούν να χρησιμοποιηθούν για απαρίθμηση ("υπάρχουν 3 μήλα στο τραπέζι"), και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να ορίσουν μια διάταξη ("είναι η 3η μεγαλύτερη πόλη στη χώρα"). Οι ιδιότητες των φυσικών αριθμών που σχετίζονται με τη διαιρεσιμότητα, όπως είναι η κατανομή των πρώτων αριθμών, μελετώνται στη θεωρία αριθμών. Προβλήματα σχετικά με την απαρίθμηση μελετώνται στη συνδυαστική.

Ορισμοί και συμβολισμοί για το σύνολο των φυσικών αριθμών

Όλοι οι φυσικοί αριθμοί ανήκουν με βάση την θεωρία συνόλων στο σύνολο των φυσικών αριθμών που αποτελείται από όλους τους θετικούς ακέραιους.

Το δε σύνολο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται ως εξής:

\( \mathbb{N} \)

εμπεριέχει ανάλογα με τον ορισμό του, τους θετικούς ακέραιους αριθμούς, δηλ.

\( \mathbb{N} = \{\, 1, 2, 3, \ldots \,\} \)

ή τους μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς, δηλ.

\( \mathbb{N}_0 = \{\, 0, 1, 2, 3, \ldots \,\} \)

Το σύμβολο \mathcal{N} χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τη γαλλική μαθηματική ομάδα Νικολά Μπουρμπακί (Nicolas Bourbaki) στην πραγματεία τους "Éléments de mathématique". Για λόγους πρακτικούς και ευκολίας αντικαταστάθηκε με την πάροδο του χρόνου από το σύμβολο \mathbb{N}, το οποίο χρησιμοποιείται κατά κόρον στη σύγχρονη διεθνή βιβλιογραφία. Όμοια ήταν και η εξέλιξη των συμβόλων \( \mathbb{Q} \) και \( \mathbb{R} \).

Λαμβάνοντας υπόψιν ότι το 0 (μηδέν) δεν θεωρείται πάντα στοιχείο του συνόλου των φυσικών αριθμών, είναι καλό να μιλάμε για θετικούς (1,2,3...) και μη αρνητικούς (0,1,2,3...) ακέραιους αριθμούς.

Έτσι λοιπόν, όταν σε κείμενα χρησιμοποιείται το σύμβολο \( \mathbb{N} \), για να οριστεί το σύνολο των φυσικών αριθμών χωρίς το μηδέν, τότε χρησιμοποιούμε τα σύμβολα \( \mathbb{N}_0 \) ή \( \mathbb{N} \cup \{ 0 \} \) για ορίσουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών που περιέχει και το 0 (μηδέν).

Αντίθετα, όταν χρησιμοποιείται το σύμβολο \( \mathbb{N} \), για να οριστεί το σύνολο των φυσικών αριθμών με το 0 (μηδέν), τότε χρησιμοποιούμε τα σύμβολα \( \mathbb{N}^+, \mathbb{N}^*, \mathbb{N}_{>0}, \mathbb{N}_{1} \) ή \( \mathbb{N} \setminus \{0\} \) για να ορίσουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών που δεν περιλαμβάνει το 0 (μηδέν).

Είναι χαρακτηριστικό να αναφέρουμε ότι για αιώνες οι μόνοι γνωστοί αριθμοί ήταν οι φυσικοί χωρίς το 0 μηδέν. Στην Ευρώπη η χρήση του μηδενός ξεκίνησε από τον 13ο αιώνα. Επίσης, λόγω των ιδιαιτέρων ιδιοτήτων του μηδενός στην πράξη του πολλαπλασιασμού, δεν συμπεριλαμβάνεται στο σύνολο των φυσικών αριθμών και αποφεύγεται η χρήση του στο πεδίο της θεωρίας των αριθμών. Αντίθετα, στα επιστημονικά πεδία της μαθηματικής λογικής, της θεωρίας συνόλων και της πληροφορικής είναι επιθυμητή η χρήση του 0 (μηδέν) για λόγους απλούστευσης. Τέλος είναι χαρακτηριστικό το γεγονός πως σύμφωνα με τον γερμανικό κανονισμό DIN-Norm 5473 ο αριθμός 0 (μηδέν) συμπεριλαμβάνεται στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Τέλος καλό είναι να ορίζεται το σύνολο των φυσικών αριθμών κάθε φορά ανάλογα με τις ανάγκες του κάθε μαθηματικού μοντέλου.

Αξιώματα Πεάνο

Ακολουθεί η περιγραφή του συνόλου των φυσικών αριθμών με βάση τα αξιώματα του Πεάνο (Giuseppe Peano) έτσι όπως δημοσιεύτηκαν το 1889. Στην πραγματικότητα ο Πεάνο υιοθέτησε τα αξιώματα του Ντέντεκιντ (Richard Dedekind) ο οποίος το 1888 εξέδωσε την πραγματεία του "Was sind und was sollen die Zahlen?" και τους έδωσε μια καθαρά λογική-μαθηματική μορφή κάνοντας χρήση συμβόλων. Είναι πιο ορθό να μιλάμε λοιπόν για τα αξιώματα Πεάνο-Ντέντεκιντ.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι και ο Πεάνο έκανε κάποιες παραδοχές. Μια από αυτές είναι ότι δεν ορίζει το μηδέν στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Ξεκινάει τον ορισμό των φυσικών αριθμών από το 1. Αργότερα αποδείχθηκε ότι ισχύουν τα αξιώματα αυτά και για το 0.

Θα πρέπει να τονίσουμε ότι μία από τις χαρακτηριστικές ιδιότητες του συνόλου των φυσικών αριθμών είναι η ύπαρξη ενός στοιχείου έναρξης αλλά και η ύπαρξη ενός επόμενου στοιχείου που ακολουθεί αυτό. Πρόκειται για την αρχή της καλής διάταξης, η οποία είναι άμεσα συνυφασμένη με τη Μαθηματική επαγωγή ή τέλεια επαγωγή.

Παραδοσιακά, οι φυσικοί αριθμοί ορίζονται σύμφωνα με τα αξιώματα του Πεάνο (Peano) ως εξής:

To 0 είναι φυσικός αριθμός.
Κάθε φυσικός αριθμός n έχει έναν επόμενο n'.
Δεν υπάρχει φυσικός αριθμός που να έχει ως επόμενο (διάδοχο) το 0.
Δύο διακριτοί φυσικοί αριθμοί n, m έχουν διαφορετικούς επόμενους αριθμούς n', m'.
Αν ένα σύνολο συμπεριλαμβάνει το 0 και κάθε επόμενο αριθμό από τους φυσικούς που συμπεριλαμβάνει, τότε συμπεριλαμβάνει όλους τους φυσικούς αριθμούς (μαθηματική επαγωγή).

-Τα αξιώματα Πεάνο περιγράφουν τους φυσικούς αριθμούς, αλλά δεν αποδεικνύουν την ύπαρξή τους.

-Το τελευταίο αξίωμα καλείται επαγωγικό αξιώμα και αποτελεί το θεμέλιο της Μαθηματικής επαγωγής.

Στα παραπάνω αξιώματα γίνεται χρήση των όρων: αριθμός, επόμενο στοιχείο και μηδέν.

Ο Μπέρτραντ Ράσελ (Bertrand Russell) παρατήρησε ότι τα παραπάνω αξιώματα δεν ισχύουν μόνο για τους φυσικούς αριθμούς αλλά και για οποιοδήποτε άλλο απαριθμήσιμο σύστημα αριθμών ή σύνολο.

Υπάρχουν αρκετοί τρόποι να αναπαραστήσουμε τα αξιώματα Πεάνο. Ένα δημοφιλές, όπου εισάγονται έννοιες της θεωρίας συνόλων είναι και το παρακάτω, το οποίο έρχεται σε αρμονία με την υπόθεση του Ράσελ, επιτρέποντάς μας να κάνουμε πράξεις με σύνολα.

\( 0 \in \mathbb{N} \)
\( \forall n: n\in\mathbb{N} \Rightarrow n'\in\mathbb{N} \)
\( \forall n: \lnot (n' = 0) \)
\( \lnot \exists (m,n) : m' = n', \lnot m = n \)
\( \mathbb{N} = \operatorname{inf}(X : 0\in X, n\in X \Rightarrow n'\in X) \)

Με βάση τα παραπάνω, ορίζονται στο σύνολο \( \mathbb{N} \) η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός.

Για την πρόσθεση

\( n+ 0 = n\ \)
\( n+ m' = (n + m)'\ \)

Για τον πολλαπλασιασμό

\( n \cdot 0 = 0 \)
\( n \cdot m' = (n \cdot m) + n \)

Με βάση το 5ο αξίωμα (αξίωμα της επαγωγής), ορίζεται πλήρως η πρόσθεση και πολλαπλασιασμός.

Αν θέσουμε αντί για το 0 (μηδέν) το 1 (ένα) προκύπτει \( n'=n+1\ \) .

Τέλος τα παραπάνω αξιώματα αποτελούν τα θεμέλια της αριθμητικής Πεάνο.
Συνολοθεωρητική προσέγγιση

Ο Πεάνο, μολονότι περιέγραψε τις ιδιότητες των φυσικών αριθμών, δεν θεώρησε αναγκαίο να αποδείξει και την υπαρξή τους. Αντίθετα ο Τζον φον Νόιμαν (John von Neumann), αντικατέστησε τους φυσικούς αριθμούς με σύνολα. Έτσι συνέταξε το παρακάτω μαθηματικό μοντέλο βασισμένο στην θεωρία συνόλων. Ξεκίνησε με την παραδοχή ενός κενού συνόλου \( \emptyset \) και το ονόμασε 0.

Έτσι έχουμε:

\( 0 = \emptyset \)
\( 1 = 0' = \{ 0 \} = \{ \emptyset \} \)
\( 2 = 1' = \{ 0, 1 \} = \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} \)
\( 3 = 2' = \{ 0, 1, 2 \} = \{ \emptyset, \{ \emptyset \}, \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} \} \)
\( \vdots \)
\( n' = \{0,1,\ldots ,n\} = n \cup \{n\} \)

Όπου όπως έχουμε αναφέρει παραπάνω το "0" είναι ένα κενό σύνολο \emptyset, ενώ το "1" ένα σύνολο που εμπεριέχει το κενό σύνολο "0". Το επόμενο σύνολο "2" εμπεριέχει το προηγούμενο σύνολο "1" το περιεχόμενο του οποίου είναι το κενό σύνολο "0" κ.τ.λ.

Μολονότι η ύπαρξη μεμονωμένων φυσικών αριθμών αποδεικνύεται στη θεωρία συνόλων σχετικά εύκολα, για την απόδειξη της ύπαρξης του συνόλου όλων των φυσικών αριθμών απαιτούνται τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων των Τσερμέλο-Φρένκελ (Zermelo-Fraenkel, ZF).

Συναρτησιακή προσέγγιση

Ο Βίτγκενσταϊν στο Tractatus Logico-Philosophicus (1921) έγραφε "Ο αριθμός είναι ο εκθέτης μιας πράξης", δίνοντας έτσι ένα ριζικά διαφορετικό νόημα στους φυσικούς αριθμούς: ο αριθμός δεν είναι σύνολο κάποιων στοιχείων αλλά επανάληψη κάποιας πράξης, δηλαδή κάποιας συνάρτησης. Ο Τσερτς (Church) το 1933 αναδιατυπώνει την ιδέα αυτή, στα πλαίσια του λαμδαλογισμού, ορίζοντας τους φυσικούς αριθμούς μέσα από τα αριθμιακά Τσερτς (Church numerals) ως εξής:

\( \bar{n}:=\lambda fx.\ f^{(n)}(x) \)

Έτσι, το αριθμιακό \( \bar{n} \), δηλαδή ο φυσικός αριθμός n, εκφράζεται μέσα από τις n διαδοχικές εφαρμογές μιας πράξης f σε ένα όρισμα x. Μια απλή και εύχρηστη εκδοχή αυτής της ιδέας είναι ο επαγωγικός ορισμός των φυσικών αριθμών με χρήση αποκλειστικά του μηδέν 0 και της συνάρτησης διαδοχής S:

\( 0\in\mathbb{N},\ \ n\in\mathbb{N}\Rightarrow S(n)\in\mathbb{N} \)

Δηλαδή, ο φυσικός αριθμός n βλέπεται εδώ ως η εφαρμογή της συνάρτησης διαδοχής S στο μηδέν, n διαδοχικές φορές:

\( n:=\underbrace{S(S(\cdots(S}_n(0))))=S^n(0) \)

Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Scientific Library