Ορισμός

Έστω δακτύλιος R.Μια αβελιανή ομάδα Μ εφοδιασμένη με μία απεικόνιση

\( \ \circ:R \times M\rightarrow M :(r,m) \mapsto r\circ m \)

την οποία θα ονομάζουμε εξωτερικό πολλαπλασιασμό ή R-δράση επί του Μ,καλείται R-πρότυπο (R-module) αν ισχύουν τα εξής:

\( (r+s)\circ m =r \circ m +r \circ s \)

\( r \circ (m+n)=r \circ m+r \circ n \)

\( r\circ (s\circ n) =(r \circ s) \circ n \)

\( 1\circ m=m \)

για κάθε \( r,s \in R \) και\( m,n \in M \)
Παραδείγματα

Αν ο R είναι σώμα ,τότε ένα R-πρότυπο Μ είναι ένας διανυσματικός χώρος επί του R.Υπο αυτή την έννοια μπορούμε να σκεφτόμαστε τα πρότυπα ως γενίκευση της έννοιας του διανυσματικού χώρου.

Κάθε αβελιανή ομάδα Μ είναι \( \mathbb{Z} \) πρότυπο εφοδιασμένη με τον εξωτερικό πολλαπλασιασμό που ορίζεται ως εξής :

\( r\circ m=\begin{cases} r\cdot m,r>0 \\0,r=0\\(-r)\cdot m ,r<0 \end{cases} \)

όπου με \( \cdot \)συμβολίζεται ο συνήθης πολαπλασιασμός.

Scientific Library