Έστω \( \mathit{L}:\mathit{K} \) επέκταση σωμάτων και ένα στοιχείο \( a \in L \) αλγεβρικό επί του \( \mathit{K} \) .Ως ελάχιστο πολυώνυμο του a επί του \( \mathit{K} \) (minimum polynomial of a over K) ορίζουμε το μοναδικό μονικό πολυώνυμο \( m(t) \in \mathit{K}[t] \) ελαχίστου βαθμού για το οποίο ισχύει m(a)=0.

Παράδειγμα

Το \( i \in \mathbb{C} \) είναι αλγεβρικό στοιχείο επί του \( \mathbb{R} \) καθως είναι ρίζα του \( p(t)=t^2+1 \in \mathbb{R}[t] \) το οποίο είναι και το ελάχιστο πολυώνυμο του i επι του \( \mathbb{R} \). Πράγματι αν υπήρχε μονικό πολυώνυμο μικροτέρου βαθμού στο \( \mathbb{R}[t] με n(i)=0 \) τότε επειδή \( degn < degm=2 το n(t) \) θα ήταν της μορφής n(t)=t+q από το οποίο έπεται ότι \( i \in \mathbb{R} \) άτοπο.

Scientific Library