Πίνακας (μαθηματικά)

Στα μαθηματικά ονομάζουμε πίνακα ή μήτρα ή μητρώο ν γραμμών και μ στηλών μία ορθογώνια διάταξη σε σχήμα ορθογώνιου παραλληλογράμμου που περιέχει ν×μ πλήθος στοιχείων. Οι εγγραφές ή στοιχεία του πίνακα μπορούν να είναι αριθμοί ή, πιο γενικά, οποιεσδήποτε αφηρημένες ποσότητες τις οποίες μπορούμε να προσθέσουμε και να πολλαπλασιάσουμε. Οι πίνακες είναι ένα χρήσιμο εργαλείο της γραμμική άλγεβρας.

Ορισμός

Ονομάζουμε πίνακα Π τύπου ν×μ με στοιχεία από ένα σώμα Κ μία ορθογώνια διάταξη α_ij (i = 1...ν, j = 1...μ) με στοιχεία από το Κ σε ν γραμμές και μ στήλες, ώστε το στοιχείο α_ij να βρίσκεται ταυτόχρονα στην i-οστή γραμμή και στη j-οστή στήλη. Για παράδειγμα:

\( \Pi = \begin{bmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \ldots & \alpha_{1\mu} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \ldots & \alpha_{2\mu} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{\nu1} & \alpha_{\nu2} & \ldots & \alpha_{\nu\mu} \end{bmatrix} \)

Ας είναι Α=(α_ij) και Β=(β_ij) δύο πίνακες ν×μ. Θα είναι ίσοι (δηλαδή Α = Β) αν και μόνο αν ισχύει ότι:

Για κάθε \( i = 1 \ldots \nu,\ j = 1\ldots \mu είναι \ \alpha_{ij} = \beta_{ij}\ . \)

Είδη πινάκων

• Ένας πίνακας 1×μ λέγεται πίνακας γραμμή ενώ ένας πίνακας ν×1 λέγεται πίνακας στήλη.

• Αν ένας πίνακας έχει ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών, ονομάζεται τετραγωνικός ν-τάξης.

• Σύνθετος λέγεται ένας πίνακας που έχει ως στοιχεία του άλλους πίνακες.

• Τα στοιχεία α₁₁, α₂₂, ... , α_νν ενός ν×ν τετραγωνικού πίνακα λέγονται στοιχεία της κύριας διαγωνίου του.

Το άθροισμα των στοιχείων της κύριας διαγωνίου ενός πίνακα Π_νxν λέγεται ίχνος (trace) του πίνακα και συμβολίζεται: trΠ. Έτσι είναι:

trΠ = α₁₁ + α₂₂ + .. α_νν.

• Ένας πίνακας που έχει όλα τα μη μηδενικά στοιχεία του στη διαγώνιό του ονομάζεται διαγώνιος.

• Επίσης, ένας (τετραγωνικός) πίνακας του οποίου τα στοιχεία που βρίσκονται κάτω από τη διαγώνιό του είναι μηδέν ονομάζεται άνω τριγωνικός. Αντίστοιχα, αν έχει μηδέν τα στοιχεία που βρίσκονται πάνω από τη διαγώνιό του, τότε λέγεται κάτω τριγωνικός.

• Τέλος, ένας διαγώνιος πίνακας Π_νxν (τετραγωνικός) ο οποίος έχει όλα τα στοιχεία της διαγωνίου του ίσα με τη μονάδα και τα υπόλοιπα στοιχεία του ίσα με μηδέν, λέγεται μοναδιαίος και συμβολίζεται: Ι_ν , ενώ ο πίνακας που έχει όλα του τα στοιχεία μηδενικά λέγεται μηδενικός

Πράξεις πινάκων

• Αναστροφή: Ο ανάστροφος ενός ν×μ πίνακα Α= \( (\alpha_{ij}) \) είναι ο μ×ν πίνακας που προκτύπτει με την μετατροπή των γραμμών σε στήλες, A^T= \( (\alpha_{ji}) \).

• Πρόσθεση: Το άθροισμα Α+Β των ν×μ πινάκων Α= \( (\alpha_{ij}) \) και Β=\( (\beta_{ij}) \) προκύπτει από την άθροιση των αντίστοιχων στοιχείων τους, δηλαδή Α+Β=\( (\alpha_{ij} + \beta_{ij}). \)

• Βαθμωτός πολλαπλασιασμός: Ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα Α με έναν αριθμό λ αντιστοιχεί στον πολλαπλασιασμό κάθε στοιχείου του πίνακα με τον λ, λΑ=\( (\lambda \alpha_{ij}). \)

• Πολλαπλασιασμός πινάκων

Ο πολλαπλασιασμός δυο πινάκων ορίζεται μόνο όταν οι στήλες του πρώτου ισούνται με τις γραμμές του δεύτερου. Ο πολλαπλασιασμός του ν×μ πινάκα A=\( (\alpha_{ij}) \) με τον μ×κ B= \( (\beta_{jk}) \) έχει ως αποτέλεσμα τον ν×κ πίνακα AB=\( (c_{ik}) \) με στοιχεία

\( c_{ik}= \alpha_{i1}\beta_{1k} + \alpha_{i2}\beta_{2k} + \cdots + \alpha_{\mu n}\beta_{\mu k} = \sum_{r=1}^{\mu} \alpha_{ir}\beta_{rk}. \)

Έτσι το δεύτερο στοιχείο της πρώτης γραμμής υπολογίζεται από την πρώτη γραμμή του Α και τη δεύτερη στήλη του Β (κίτρινο χρώμα στην απεικόνιση).

Ο πολλαπλασιασμός πινάκων είναι προσεταιριστικός και επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση, όταν οι αντιστοιχες πράξεις ορίζονται, αλλά δεν είναι αντιμεταθετικός.

Τετραγωνικοί πίνακες

Το σύνολο των τετραγωνικών πινάκων ν-τάξης εφοδιασμένο με την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό, όπως αυτοί ορίστηκαν παραπάνω, αποτελεί δακτύλιο με μοναδιαίο στοιχείο τον μοναδιαίο πίνακα Ι_ν.

• Αντίστροφοι πίνακες

Ένας τετραγωνικός πίνακας ν-τάξης Α είναι αντιστρέψιμος ανν υπάρχει Β τέτοιος ώστε ΑΒ=BA=Ι_ν. Τότε ο Β ονομάζεται αντίστροφος του Α και συμβολίζεται με Α⁻¹. Ο αντίστροφος του Α⁻¹ είναι ο Α.

Το σύνολο όλων των αντιστρέψιμων πινάκων με πράξη τον πολλαπλασιασμό πινάκων αποτελεί ομάδα.

Ένας πίνακας είναι αντιστρέψιμος ανν η ορίζουσά του είναι διαφορετική του μηδενός.

• Συμμετρίες

Ένας τετραγωνικός πίνακας ονομάζεται συμμετρικός, όταν είναι ίσος με τον ανάστροφο του, Α=A^T. Όταν είναι ίσος με τον αντίθετο του αναστρόφου του, ονομάζεται αντισυμμετρικός, Α=-A^T.

Γραμμικές απεικονίσεις

Κύριο λήμμα: Γραμμικός μετασχηματισμός

Έστω V και W δύο διανυσματικοί χώροι πεπερασμένης διάστασης με dim(V)=ν και dim(W)=μ. Κάθε νxμ πίνακας Α περιγράφει σύμφωνα με την f(x)=Ax μια γραμμική απεικόνιση από τον V στον W. Αντιστρόφως κάθε γραμμική απεικόνιση \( \scriptstyle f: V \to W \) μπορεί να γραφεί με τη μορφή f(x)=Ax, όπου Α ένας νxμ πίνακας.

Σύστημα γραμμικών εξισώσεων

Κύριο λήμμα: Σύστημα γραμμικών εξισώσεων

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων

\( \begin{alignat}{7} \alpha_{11} x_1 &&\; + \;&& \alpha_{12} x_2 &&\; + \cdots + \;&& \alpha_{1n} x_\mu &&\; = \;&&& \beta_1 \\ \alpha_{21} x_1 &&\; + \;&& \alpha_{22} x_2 &&\; + \cdots + \;&& \alpha_{2n} x_\mu &&\; = \;&&& \beta_2 \\ \vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && &&& \;\vdots \\ \alpha_{\nu 1} x_1 &&\; + \;&& \alpha_{\nu 2} x_2 &&\; + \cdots + \;&& \alpha_{\nu\mu} x_{\mu} &&\; = \;&&& \beta_{\nu} \\ \end{alignat} \)

μπορεί να γραφεί με τη μορφή πινάκων ως

\( \bold{A}\bold{x}=\bold{b}. \)

Όταν το διάνυσμα b είναι το μηδενικό, \( \scriptstyle\bold{b}=(0,0, \dots, 0)^T, \) το σύστημα ονομάζεται ομογενές. Ένα ομογενές συστημα εξισώσεων έχει τουλάχιστο μια λύση, τη μηδενική.

Επαυξημένος πίνακας του συστήματος ονομάζεται ο πίνακας

\( \bold{A}|\bold{b}= \begin{bmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \ldots & \alpha_{1\mu} & \beta_1\\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \ldots & \alpha_{2\mu} & \beta_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{\nu1} & \alpha_{\nu2} & \ldots & \alpha_{\nu\mu} & \beta_{\nu} \end{bmatrix} \)

Βαθμίδα (rank) ενός πίνακα ονομάζεται ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών ή στήλών του πίνακα.

Το σύστημα Ax=b έχει τουλάχιστον μια λύση ανν η βαθμίδα του επαυξημένου του πίνακα είναι ίση με τη βαθμίδα του Α.

Αν x₀ είναι μια λύση του συστήματος, το σύνολο των λύσεων του συστήματος μπορεί να βρεθεί από τις λύσεις του αντίστοιχου ομογενούς συστήματος:

{ x₀+ξ : ξ λύση του Ax=0 }

Όταν ο Α είναι τετραγώνικός αντιστρέψιμος πίνακας, το σύστημα έχει μοναδική λύση και μπορεί να λυθεί με τον κανόνα του Κράμερ που βασίζεται στην ισοδύναμη μορφή της εξίσωσης:

\( \bold{x}=\bold{A}^{-1}\bold{b}. \)

Βιβλιογραφία

Arnold, V. I.; Cooke, Roger (1992), Ordinary differential equations, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-54813-3
Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1
Association for Computing Machinery (1979), Computer Graphics, Tata McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-059376-3
Baker, Andrew J. (2003), Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-85233-470-3
Bau III, David; Trefethen, Lloyd N. (1997), Numerical linear algebra, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-361-9
Bretscher, Otto (2005), Linear Algebra with Applications (3rd έκδοση), Prentice Hall
Bronson, Richard (1989), Schaum's outline of theory and problems of matrix operations, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-007978-6
Brown, William A. (1991), Matrices and vector spaces, New York: M. Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
Coburn, Nathaniel (1955), Vector and tensor analysis, New York: Macmillan, OCLC 1029828
Conrey, J. B. (2007), Ranks of elliptic curves and random matrix theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-69964-8
Fudenberg, D.; Tirole, Jean (1983), Game Theory, MIT Press
Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001), Elliptic partial differential equations of second order (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-41160-4
Godsil, Chris; Royle, Gordon (2004), Algebraic Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, 207, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95220-8
Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd έκδοση), Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9
Greub, Werner Hildbert (1975), Linear algebra, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90110-7
Halmos, Paul Richard (1982), A Hilbert space problem book, Graduate Texts in Mathematics, 19 (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, 675952, ISBN 978-0-387-90685-0
Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
Householder, Alston S. (1975), The theory of matrices in numerical analysis, New York: Dover Publications, 0378371
Krzanowski, W. J. (1988), Principles of multivariate analysis, Oxford Statistical Science Series, 3, The Clarendon Press Oxford University Press, 969370, ISBN 978-0-19-852211-9
Itõ, Kiyosi, επιμ.. (1987), Encyclopedic dictionary of mathematics. Vol. I--IV (2nd έκδοση), MIT Press, 901762, ISBN 978-0-262-09026-1
Lang, Serge (1969), Analysis II, Addison-Wesley
Lang, Serge (1987a), Calculus of several variables (3rd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96405-8
Lang, Serge (1987b), Linear algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6
Laub, Alan (2005), Matrix Analysis for Scientists and Engineers, Philadelphia: SIAM, ISBN 978-0898715767
Laub, Alan (2005), Ανάλυση Μητρώων για Επιστήμονες και Μηχανικούς, Αθήνα: Κλειδάριθμος (2010), ISBN 978-960-461-385-4
Latouche, G.; Ramaswami, V. (1999), Introduction to matrix analytic methods in stochastic modeling (1st έκδοση), Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-425-8
Manning, Christopher D.; Schütze, Hinrich (1999), Foundations of statistical natural language processing, MIT Press, ISBN 978-0-262-13360-9
Mehata, K. M.; Srinivasan, S. K. (1978), Stochastic processes, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-096612-3
Mirsky, Leonid (1990), An Introduction to Linear Algebra, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7
Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006), Numerical Optimization (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, σελ. 449, ISBN 978-0-387-30303-1
Oualline, Steve (2003), Practical C++ programming, O'Reilly, ISBN 978-0-596-00419-4
Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. (1992), LU Decomposition and Its Applications, Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing (2nd έκδοση), Cambridge University Press, σελ. 34–42
Punnen, Abraham P.; Gutin, Gregory (2002), The traveling salesman problem and its variations, Boston: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-0664-7
Reichl, Linda E. (2004), The transition to chaos: conservative classical systems and quantum manifestations, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98788-0
Rowen, Louis Halle (2008), Graduate Algebra: noncommutative view, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4153-2
Šolin, Pavel (2005), Partial Differential Equations and the Finite Element Method, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-76409-0
Stinson, Douglas R. (2005), Cryptography, Discrete Mathematics and Its Applications, Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-508-5
Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (3rd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95452-3
Ward, J. P. (1997), Quaternions and Cayley numbers, Mathematics and its Applications, 403, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1458894, ISBN 978-0-7923-4513-8
Wolfram, Stephen (2003), The Mathematica Book (5th έκδοση), Champaign, Ill: Wolfram Media, ISBN 978-1-57955-022-6

Φυσική

Bohm, Arno (2001), Quantum Mechanics: Foundations and Applications, Springer, ISBN 0-387-95330-2
Burgess, Cliff; Moore, Guy (2007), The Standard Model. A Primer, Cambridge University Press, ISBN 0-521-86036-9
Guenther, Robert D. (1990), Modern Optics, John Wiley, ISBN 0-471-60538-7
Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (1980), Quantum Field Theory, McGraw-Hill, ISBN 0-07-032071-3
Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (1997), Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55506-X
Schiff, Leonard I. (1968), Quantum Mechanics (3rd έκδοση), McGraw-Hill
Weinberg, Steven (1995), The Quantum Theory of Fields. Volume I: Foundations, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55001-7
Wherrett, Brian S. (1987), Group Theory for Atoms, Molecules and Solids, Prentice-Hall International, ISBN 0-13-365461-3
Zabrodin, Anton; Brezin, Édouard; Kazakov, Vladimir; Serban, Didina; Wiegmann, Paul (2006), Applications of Random Matrices in Physics (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-4020-4530-1

Ιστορία

Bôcher, Maxime (2004), Introduction to higher algebra, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-49570-5, reprint of the 1907 original edition
Cayley, Arthur (1889), The collected mathematical papers of Arthur Cayley, I (1841–1853), Cambridge University Press, σελ. 123–126
Dieudonné, Jean, επιμ.. (1978), Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900, Paris: Hermann
Hawkins, Thomas (1975), "Cauchy and the spectral theory of matrices", Historia Mathematica 2: 1–29, doi:10.1016/0315-0860(75)90032-4, 0469635, ISSN 0315-0860
Knobloch, Eberhard (1994), From Gauss to Weierstrass: determinant theory and its historical evaluations, The intersection of history and mathematics, Sci. Networks Hist. Stud., 15, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, σελ. 51–66, 1308079
Kronecker, Leopold (1897), Hensel, Kurt, επιμ., Leopold Kronecker's Werke, Teubner
Mehra, J.; Rechenberg, Helmut (1987), The Historical Development of Quantum Theory (1st έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96284-9
Shen, Kangshen; Crossley, John N.; Lun, Anthony Wah-Cheung (1999), Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary (2nd έκδοση), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853936-0
Weierstrass, Karl (1915), Collected works, 3

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Ιστορία

MacTutor: Matrices and determinants
Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages
Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors

Δικτυακά βιβλία

Kaw, Autar K., Introduction to Matrix Algebra, ISBN 978-0-615-25126-4
The Matrix Cookbook, ανακτήθηκε στις 12/10/2008
Brookes, M. (2005), The Matrix Reference Manual, London: Imperial College, ανακτήθηκε στις 12/10/2008

Υπολογισμοί

SuperiorMath (Matrix Calculator)
Matrix Calculator (DotNumerics )
Xiao, Gang, Matrix calculator, ανακτήθηκε στις 12/10/2008
Online matrix calculator, ανακτήθηκε στις 12/10/2008
Online matrix calculator(ZK framework), ανακτήθηκε στις 11/26/2009

Oehlert, Gary W.; Bingham, Christopher, MacAnova, University of Minnesota, School of Statistics, ανακτήθηκε στις 12/10/2008, a freeware package for matrix algebra and statistics
Online matrix calculator, ανακτήθηκε στις 12/14/2009