.
Μαθηματική αναγωγή
Η μαθηματική αναγωγή (Mathematical reduction) ονομάζεται η μετατροπή μιας έκφρασης σε ταυτόσιμη αλλά απλούστερη μορφή. Χρησιμοποιείται σε όλους σχεδόν τους κλάδους των μαθηματικών. Στα κλάσματα, (μαθηματική) αναγωγή ονομάζεται και «απλοποίηση» και ονομάζεται η ξαναγραφή των όρων του κλάσματος με απλούστερους όρους. Στα ριζικά (μαθηματική) αναγωγή ονομάζεται η ξαναγραφή του περιεχομένου των ριζικών με απλούστερο τρόπο.
Στη Γραμμική Άλγεβρα η (μαθηματική) αναγωγή εφαρμόζει κανόνες για να μετατρέψει την εξίσωση, το σύστημα εξισώσεων ή τους πίνακες (μήτρες) σε ισοδύναμη αλλά απλούστερη μορφή.
Τέλος η (μαθηματική) αναγωγή αναφέρεται και στην τεχνική της ολοκλήρωσης κατά μέλη για τη διευκόλυνση του υπολογισμού τους με την ξαναγραφή τους ως έκφρασης που περιέχει απλούστερα (στον υπολογισμό) ολοκληρώματα.
Στατική Αναγωγή ή Αναγωγή Guyan
Στη δυναμική ανάλυση. η «στατική αναγωγή» ή «αναγωγή Guyan» αναφέρεται στη (μαθηματική) αναγωγή των βαθμών ελευθερίας. Η στατική αναγωγή μπορεί επίσης να εφαρμοστεί για την απλοποίηση ενός προβλήματος γραμμικής άλγεβρας. Π.χ. έστω το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων:
\( \mathrm{ \alpha_{11}x_1+\alpha_{12}x_2=\beta_1} \)
\( \mathrm{ \alpha_{21}x_1+\alpha_{22}x_2=\beta_2} \)
όπου α,β οι γνωστοί και Χ οι άγνωστοι όροι, που τοποθετούνται σε πίνακες.
Η παραπάνω μορφή γράφεται ισοδύναμα και σε μορφή εξίσωσης πινάκων:
\( \mathrm{ \begin{bmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \end{bmatrix}} \)
Αν τώρα β2=0 και χρειαζόμαστε μόνο τον όρο x1, η εξίσωση των πινάκων μπορεί να αναχθεί στην ακόλουθη εξίσωση:
\( \mathrm{ \alpha_{11 \alpha \nu.} x_1 = \beta_1} \)
Η αναγωγή στον όρο α11αν. φαίνεται πώς γίνεται αν ξαναγράψουμε το αρχικό σύστημα εξισώσεων στην ακόλουθη μορφή, εφαρμόζοντας την προϋπόθεση β2=0:
\( \mathrm{ \alpha_{11}x_1+\alpha_{12}x_2=\beta_1\;} \)
\( \mathrm{ \alpha_{21}x_1+\alpha_{22}x_2=0\;} \)
Είναι φανερό τώρα ότι για τη δεύτερη (2η) εξίσωση ισχύει:
\( \mathrm{\alpha_{21}x_1+\alpha_{22}x_2=0 \Leftrightarrow \alpha_{21}x_1 = -\alpha_{22}x_2 \( \Leftrightarrow x_2 = -\frac{\alpha_{21}}{\alpha_{22}}x_1 } \)
Αντικαθιστώντας τώρα το x2 στην πρώτη εξίσωση, αυτή γίνεαι:
\( \mathrm{ \alpha_{11}x_1-\alpha_{12}\frac{\alpha_{21}}{\alpha_{22}}x_1 =\beta_1 \Leftrightarrow \begin{pmatrix} \alpha_{11} -\alpha_{12}\frac{\alpha_{21}}{\alpha_{22}} \end{pmatrix} x_1 =\beta_1 } \)
Τέλος θέτοντας \( \mathrm{ \alpha_{11 \alpha \nu.} = \alpha_{11} -\( \alpha_{12}\frac{\alpha_{21}}{\alpha_{22}} } \) διαμορφώθηκε η «αναγμένη» εξίσωση:
\( \mathrm{ \alpha_{11 \alpha \nu.} x_1 = \beta_1} \)
Παρόμοια αναγωγή μπορεί να γίνει και αν κάποιο από τα αij είναι 0, ενώ φυσικά μπορεί ομοίως να αναχθεί το α21 αν β1=0.
Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Reduction (mathematics) της Αγγλόγλωσσης Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).
Retrieved from "http://el.wikipedia.org/"
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License
