Ανισότητα Μάρκοφ

Στη θεωρία των πιθανοτήτων, η ανισότητα Markov (Markov's inequality) δίνει ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα ότι μια μη-αρνητική συνάρτηση μιας τυχαίας μεταβλητής είναι μεγαλύτερη ή ίση με κάποια θετική σταθερά. Ονομάστηκε έτσι από το Ρώσο μαθηματικό Andrey Markov, αν και εμφανίστηκε νωρίτερα στο έργο του Παφνούτι Λβόβιτς Τσέμπισσιοφ (δάσκαλος του Markov) και πολλές πηγές, κυρίως μαθηματικής ανάλυση , αναφέρονται σε αυτήν ως ανισότητα Chebyshev ή Bienaymé 's ανισότητα. Η ανισότητα Markov (και άλλες παρόμοιες ανισότητες) αφορά πιθανότητες προσδοκιών, και παρέχει (συχνά) χαλαρά αλλά ακόμα χρήσιμα όρια για την αθροιστική συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής. Ένα παράδειγμα εφαρμογής της ανισότητας Markov είναι το γεγονός ότι (με την προϋπόθεση ότι τα εισοδήματα είναι μη-αρνητικά) δεν υπερβαίνουν το 1 / 5 του πληθυσμού αυτοί που μπορούν να έχουν πάνω από 5 φορές το μέσο εισόδημα.

Δήλωση

Αν X είναι κάποια τυχαία μεταβλητή και a > 0, τότε

\( \Pr(|X| \geq a) \leq \frac{\textrm{E}(|X|)}{a}. \)

Στη γλώσσα της θεωρίας μέτρου, η ανισότητα Markov δηλώνει ότι αν (Χ, Σ, μ) είναι ένας μετρικός χώρος , ƒ μετρήσιμη επεκτατική πραγματική συνάρτηση και \epsilon>0, τότε

\( \mu(\{x\in X:|f(x)|\geq \epsilon \}) \leq {1\over \epsilon}\int_X |f|\,d\mu. \)

Πόρισμα:Ανισότητα Chebyshev

Η Ανισότητα Chebyshev χρησιμοποιεί την διακύμανση να δεσμεύεται η πιθανότητα ότι μια τυχαία μεταβλητή αποκλίνει πολύ από τη μέση. Συγκεκριμένα:

\( \Pr(|X-\textrm{E}(X)| \geq a) \leq \frac{\textrm{Var}(X)}{a^2}, \)

για κάθε a>0. Εδώ Var(X) είναι η διακύμανση του X,που ορίζεται ως εξής:

\( \operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[(X - \operatorname{E}(X) )^2]. \)

Η ανισότητα Chebyshev που προκύπτει από την ανισότητα Markov, εξετάζοντας την τυχαία μεταβλητή

\( (X - \operatorname{E}(X))^2 \)

για την οποία η ανισότητα Markov του λέει

\( \Pr( (X - \operatorname{E}(X))^2 \ge a^2) \le \frac{\operatorname{Var}(X)}{a^2}, \)

Αποδείξεις

Ξεχωρίσαμε την περίπτωση στην οποία ο μετρικός χώρος είναι ένας χώρος πιθανοτήτων από τη γενικότερη περίπτωση, επειδή η περίπτωση της πιθανότητας είναι πιο προσιτή στον γενικό αναγνώστη.
Στη γλώσσα της θεωρίας των πιθανοτήτων

Για οποιοδήποτε γεγονός E, έστω IE είναι ο δείκτης τυχαία μεταβλητή του E,δηλαδή,IE = 1 εάν E συμβαίνει και = 0 σε άλλη περίπτωση. Γι'αυτό I(|X| ≥ a) = 1 αν το γεγονός |X| ≥ a συμβαίνει, και I(|X| ≥ a) = 0 αν |X| < a. Στη συνέχεια,δεδομένου a > 0,

\( aI_{(|X| \geq a)} \leq |X|.\, \)

που να είναι σαφές αν αναλογιστούμε τις δύο πιθανές τιμές του I(|X| ≥ a).Είτε |X| < a και γι'αυτό I(|X| ≥ a) = 0, ή I(|X| ≥ a) = 1 και από την κατάσταση που I(|X| ≥ a),η ανισότητα πρέπει να είναι αληθής. Επιπρόσθετα

\( \operatorname{E}(aI_{(|X| \geq a)}) \leq \operatorname{E}(|X|).\, \)

Τώρα, χρησιμοποιώντας γραμμικότητα των προσδοκιών, η αριστερή πλευρά αυτής της ανισότητας είναι η ίδια με

\( a\operatorname{E}(I_{(|X| \geq a)})=a\Pr(|X| \geq a).\, \)

Έτσι έχουμε,

\( a\Pr(|X| \geq a) \leq \operatorname{E}(|X|)\, \)

και αφού a > 0,μπορούμε να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές με το a.
Στη γλώσσα της θεωρίας μέτρου

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι η συνάρτησηf είναι μη αρνητική, δεδομένου ότι μόνο η απόλυτη τιμή της εισέρχεται στην εξίσωση. Τώρα, εξετάστε το πραγματική συνάρτηση s στο X που δίνεται από s(x) = \( \begin{cases} \epsilon, & \text{if } f(x) \geq \epsilon \\ 0, & \text{if } f(x) < \epsilon \end{cases} \) Τότε s είναι μια απλή συνάρτηση, έτσι ώστε 0\leq s(x)\leq f(x). Από τον ορισμό του Lebesgue ολοκληρώματος

\( \int_X f(x) \, d\mu \geq \int_X s(x) \, d \mu = \epsilon \mu( \{ x\in X : \, f(x) \geq \epsilon \} ) \)

και από \epsilon >0 , και οι δύο πλευρές μπορούν να διαιρεθούν από \epsilon, συμπεραίνοντας

\( \mu(\{x\in X : \, f(x) \geq \epsilon \}) \leq {1\over \epsilon }\int_X f \,d\mu. \)

Ο.Ε.Δ.
Πίνακας Markov

Έστω \( M \succeq 0 \) είναι μία αυτοσυζυγής μήτρα τυχαίων μεταβλητών και a>0 . Τότε

\( \Pr (M \npreceq a \cdot I) \leq \frac{\mathrm{tr}\left( E(M) \right)}{a}. \)

Παραδείγματα

Η ανισότητα Markov χρησιμοποιείται για να αποδείξει την ανισότητα Chebyshev.