.
Σύνολο Mandelbrot
Mandelbrot σύνολο
Ορίζεται σαν το σύνολο των σημείων των μιγαδικών αριθμών των οποίων η αλληλουχία x1 = 0, xn+1 = xn2 + c παραμένει περιορισμένη.
Το Mandelbrot σύνολο έχει μια φρακτάλ δομή.
Παράδειγμα για c = 1 η αλληλουχία 0,1,2,5,26 τείνει στο άπειρο και επομένως δεν ανοίκει στο σύνολο Mandelbrot .
Παράδειγμα για c = i έχουμε 0, i, (-1 + i), –i, (-1 + i), -i μια αλληλουχία που δεν αποκλείνει και το c = i ανοίκει επομένως στο Mandelbrot σύνολο
Τις πρώτες εικόνες του συνόλου υπολογίσανε οι Robert Brooks και Peter Matelski το 1978 σαν μέρος της μελέτης των ομάδων του Klein.
Ο Mandelbrot μελέτησε το παραμέτρικό χώρο των τετραγωνικών πολυωνύμων σε ένα άρθρο που εμφανίστηκε το 1980
Η μαθηματική μελέτη του Mandelbrot άρχισε με την εργασία των μαθηματικών Adrien Douady και John H. Hubbard, οι οποίοι καθιέρωσαν πολλές θεμελιώδεις ιδιότητες του συνόλου το οποίο ονομάσανε σύνολο Mandelbrot προς τιμή του Mandelbrot.
Η πειραματική τιμή της επιφάνειας του συνόλου είναι 1.506 591 77 ± 0.000 000 08. Υποτίθεται οτι η ακριβής τιμή είναι
Υπολογισμός της εικόνας του Mandelbrot
Για κάθε σημείο της περιοχής που μας ενδιαφέρει
{
x = x0
y = y0
(x0, y0 συντετάγμενες του σημείου)
iteration = 0
max_iteration = 1000
Εφόσον ( x*x + y*y < (2*2) και iteration < max_iteration )
{
xtemp = x*x - y*y + x0
ytemp = 2*x*y + y0
x = xtemp
y = ytemp
iteration = iteration + 1
}
Εάν ( iteration == max_iteration )
τότε col = Μαύρο
αλλιώς col = iteration
Το χρώμα του σημείου x,y είναι col
}
Η μαύρη περιοχή ανοίκει στο σύνολο Mandelbrot . Το χρώμα της περιοχής που δεν ανοίκει στο σύνολο Mandelbrot δείχνει την ταχύτητα με την οποία η αλληλουχία του αντίστοιχου σημείου ξεπερνά το μέτρο 2 και επομένως αποκλείνει.
Αριστερά, εικόνα μιας περιοχής υπολογισμένη με τον προηγούμενο απλό αλγόριθμο, δεξιά με ένα πιο εξελιγμένο αλγοριθμο για το χρωματισμό της περιοχης που δεν ανοίκει στο σύνολο.
Αυτοομοιότητα
Σαν φρακτάλ δομή χαρακτηριστικό του συνόλου είναι η αυτοομοιότητα, τμήματα του σε διάφορες περιοχές σε μεγέθυνση είναι όμοια προς το σύνολο. Αυτή η ιδιότητα είναι ο λόγος για το οποίο το σύνολο είναι κοινώς γνωστό.
Σχέση με τα Julia σύνολα
Γενικέυσεις
, Multibrot σύνολα
Multibrot σύνολα , d=3,4
Μπενουά Μάντελμπροτ (Benoît B. Mandelbrot)
Retrieved from "http://el.wikipedia.org/"
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License
