Λογαριθμική συνάρτηση (Logarithmic function, logarithm) καλείται οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής logαx, όπου α πραγματική σταθερά, α>0 και α≠1. Δηλαδή η τιμή εκθετικής συνάρτησης ισούται με το λογάριθμο που έχει σαν βάση τη σταθερά α και σαν λογαριθμιζόμενο μέρος x μία ανεξάρτητη μεταβλητή (όρισμα).

Οι πιο ευρέως χρησιμοποιούμενες λογαριθμικές συναρτήσεις είναι η λογαριθμική συνάρτηση με βάση το 2 (στους υπολογιστές), με βάση το 10 (συνήθως συμβολίζεται με logx), και με βάση το e (αριθμός Όιλερ ίσος περίπου με 2,718). Στην τελευταία περίπτωση συμβολίζεται με lnx και ονομάζεται φυσικός λογάριθμος και σπανιότερα νεπέριος λογάριθμος.

Χαρακτηριστικά της λογαριθμικής συνάρτησης

Πεδίο ορισμού

Με βάση τον ορισμό του λογαρίθμου πεδίο ορισμού είναι το ανοιχτό σύνολο από μηδέν στο συν άπειρο \( (0,+\infty) \), δηλαδή οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί.

Συνέχεια-Παραγωγισιμότητα

Η λογαριθμική συνάρτηση είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της, όπως και παραγωγίσιμη. Επιπλέον, κάθε της παράγωγος είναι παραγωγίσιμη. Ισχύει (log_α^x)'=1/(lnα x), ενώ για τη νιοστή παράγωγο (log_α^x)^ν=(-1)^ν-1/(lnα x^ν).

Ειδικότερα στην lnx ισχύει (lnx)'=1/x μία ιδιότητα πολύ σημαντική, γιατί η παράγωγος μιας λογαριθμικής συνάρτησης είναι μια αμιγώς ρητή συνάρτηση.

Μονοτονία

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις μία για α>1 και μία για 0<α<1.

• Αν α>1:

Οι λογαριθμικές συναρτήσεις με βάση α>1 είναι γνησίως αύξουσες σε όλο το πεδίου ορισμού τους, γιατί lnα>0 και 1/x>0, άρα (log_α^x)'>0.

• Αν 1>α>0:

Οι λογαριθμικές συναρτήσεις με βάση 0<α<1 είναι γνησίως φθίνουσες σε όλο το πεδίου ορισμού τους, γιατί lnα<0 και 1/x>0, άρα (log_α^x)'<0.

Ακρότατα-Ασύμπτωτες

Αν α>1:

Το όριο της λογαριθμικής στο συν άπειρο είναι συν άπειρο, ενώ το όριο της λογαριθμικής στο 0 είναι μείον άπειρο. Η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα. Ασύμπτωτη της συνάρτησης είναι η ευθεία x=0, δηλαδή ο άξονας y'y. Το σύνολο τιμών της λογαριθμικής συνάρτησης είναι οι πραγματικοί αριθμοί.

Αν 0<α<1:

Το όριο της λογαριθμικής στο συν άπειρο είναι πλην άπειρο, ενώ το όριο της λογαριθμικής στο 0 είναι συν άπειρο. Η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα. Ασύμπτωτη της συνάρτησης είναι η ευθεία x=0, δηλαδή ο άξονας y'y. Το σύνολο τιμών της λογαριθμικής συνάρτησης είναι οι πραγματικοί αριθμοί.

Σύνολο τιμών-Γνωστές τιμές-Ρίζες

Το σύνολο τιμών της λογαριθμικής συνάρτησης είναι οι πραγματικοί αριθμοί. Κάθε λογαριθμική συνάρτηση διέρχεται από το σημείο (1,0). Όλες οι λογαριθμικές συναρτήσεις έχουν ως μοναδική ρίζα το 1, δηλαδή ισχύει ότι log_α^x=0 <=> x=1.

Κοιλοκυρτότητα

• Αν α>1 τότε:

Είναι (log_α^x)''=-1/(lnα x²)<0, άρα η λογαριθμική συνάρτηση είναι κοίλη, δηλαδή στρέφει τα κοίλα κάτω.

• Αν 1>α>0 τότε:

Είναι (log_α^x)''=-1/(lnα x²)>0, άρα η λογαριθμική συνάρτηση είναι κυρτή, δηλαδή στρέφει τα κοίλα άνω.

Σε κάθε περίπτωση δεν υπάρχουν σημεία καμπής.

Συμμετρίες

Η λογαριθμική συνάρτηση logαx είναι συμμετρική με την log1/αx ως προς τον άξονα x'x. Παρατηρείται ότι οι δύο βάσεις είναι αντίστροφες μεταξύ τους. H ιδιότητα αυτή είναι ανάλογη με την αντίστοιχη ιδιότητα στην εκθετική συνάρτηση.
Αντίστροφη συνάρτηση της λογαριθμικής
Μία φυσική λογαριθμική συνάρτηση, η εκθετική και μία λογαριθμική με βάση 1/e.

Αντίστροφη συνάρτηση της λογαριθμικής εξ ορισμού είναι η εκθετική συνάρτηση.

Μετασχηματισμοί

Η λογαριθμική συνάρτηση μπορεί να μετασχηματιστεί μέσω του φυσικού λογαρίθμου. Ισχύει ότι log_αx=y <=> x=α^y <=> x=e^y⋅lnα <=> lnx=y⋅lnα <=> y=\( \frac{lnx}{ln\alpha} \). Επομένως, αρκεί να μελετηθεί η συνάρτηση του φυσικού λογαρίθμου και μπορούν αναλόγως να επεκταθούν τα συμπεράσματα και σε άλλες λογαριθμικές συναρτήσεις. Η συγκεκριμένη ιδιότητα ισχύει αναλόγως και με άλλες βάσεις εκτός από το e, όπως το 10 και το 2. Έτσι, , logαx=\( \frac{logx}{log\alpha} \).

Σχέσεις με τη λογαριθμική συνάρτηση

Ανισοτικές

Για κάθε θετικούς πραγματικούς αριθμούς x, x₀, y ισχύει:

• e^x>lnx

Για α>1:

• log_αx>log_αy <=> x>y
  • log_αx>0 <=> x>1
  • log_αx<0 <=> x<1
• log_αx<=1/(lnα x₀)x+(log_αx₀-1/lnα), το ίσον ισχύει μόνο για x=x₀

Για 0<α<1:

• log_αx>log_αy <=> x<y
  • log_αx>0 <=> x<1
  • log_αx<0 <=> x>1
• log_αx>=1/(lnα x₀)x+(log_αx₀-1/lnα), το ίσον ισχύει μόνο για x=x₀

Ταυτότητες

Για κάθε πραγματικό αριθμό κ, για κάθε θετικούς πραγματικούς αριθμούς x, y, και με α>0 και διάφορο του ενός, ισχύει:

• log_αx=log_αy <=> x=y
• log_αx=0 <=> x=1
• log_αx=-log_1/αx
• log_αx+log_αy=log_α(xy)
• log_αx-log_αy=log_α(x/y)
• log_αx^κ=κlog_αx
• log_α(α^x)=x
  • log_αα=1

Λογαριθμική συνάρτηση και απειροστικός λογισμός

Η λογαριθμική συνάρτηση lnx έχει τη σημαντική ιδιότητα ότι (lnx)'=1/x. Έτσι, αποδεικνύεται ότι (logαx)'=(lnx/lnα)'=1/lnαx.

Επίσης ισχύoυν οι εξή σχέσεις για τα ολοκληρώματα:

\( \int lnx\,dx=xlnx-x+c \)
\( \int log_{\alpha}x\,dx=xlog_{\alpha}x+c \)
\( \int \frac{1}{x}\,dx=lnx+c \)
\( \int \frac{1}{ln\alpha x}\,dx=log_{\alpha}x+c \)

Δείτε επίσης

εκθετική συνάρτηση
λογαριθμικός κανόνας

Το άρθρο βασίστηκε στη διαδικασία της μαθηματικής ανάλυσης συνάρτησης που αναγράφεται στο βιβλίο Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης, ISBN 960-06-0703-6 ΟΕΔΒ εκδόσεις 2008, παράγραφος 2.10, σελίδα 287

Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Scientific Library