Με τον όρο «όριο» στα Μαθηματικά, νοείται η διαρκής προσέγγιση ενός σημείου ή, διαφορετικά, η διαρκής μείωση μιας απόστασης, χωρίς όμως ποτέ αυτή να μηδενίζεται.

Συνήθως, η έννοια του ορίου χρησιμοποιείται για να περιγραφεί η συμπεριφορά μιας συνάρτησης καθώς το όρισμά της πλησιάζει κάποιο σημείο ή καθώς μεγαλώνει (αντίστοιχα μικραίνει) απεριόριστα. Η έννοια του ορίου συνάρτησης περιλαμβάνει και την έννοια του ορίου ακολουθίας όπου εκεί η έννοια του ορίου χρησιμοποιείται για να περιγράψουμε τη συμπεριφορά της ακολουθίας καθώς ο δείκτης της αυξάνεται απεριόριστα.

Όριο ακολουθίας

Κύριο λήμμα: Όριο ακολουθίας

Θεωρούμε την ακολουθία:

\( a_n = \frac{1}{n} \)

με όρους:

\( a_1 = 1, ..., a_{10}=\frac{1}{10}, ..., a_{100}=\frac{1}{100}, ... , a_{1000}=\frac{1}{1000} ... \)

Είναι εύκολο να παρατηρήσει κανείς ότι οι όροι της ακολουθίας πλησιάζουν ολοένα και περισσότερο το 0 καθώς ο δείκτης της n αυξάνεται. Για τη συγκεκριμένη ακολουθία μπορούμε επίσης να παρατηρήσουμε ότι για καμιά τιμή του n δεν θα υπάρξει όρος (ίσος ή) μικρότερος του μηδενός. Θα μπορούσαμε λοιπόν να πούμε ότι η ακολουθία μας δεν μπορεί να ξεπεράσει το μηδέν, με άλλα λόγια ότι έχει όριο τον αριθμό 0.

Ένας άτυπος ορισμός του ορίου ακολουθίας είναι ο εξής: μια ακολουθία λέμε ότι έχει όριο ή ότι συγκλίνει σε ένα αριθμό L, όταν οι όροι της πλησιάζουν όλο και περισσότερο τον αριθμό αυτό καθώς ο δείκτης της αυξάνεται απεριόριστα.

Ο αυστηρός ορισμός της σύγκλισης μιας ακολουθίας (a_n) σε πραγματικό αριθμό είναι ο εξής:λέμε ότι ο αριθμός L είναι όριο της ακολουθίας (\( a_n \( ) αν για κάθε ε > 0 υπάρχει (τουλάχιστον ένας) φυσικός αριθμός n0 τέτοιος, ώστε για κάθε n>n0 να ισχύει:

\( |a_n - L| < \epsilon \)

και το συμβολίζουμε με:

\( \lim_{n \to \infty}a_n = L \)

Διασθητικά ο ορισμός λέει ότι: αν μια ακολουθία ( \( a_n) \) συγκλίνει σε ένα αριθμό L τότε οποιαδήποτε περιοχή του L και αν επιλέξουμε, μετά από κάποιον όρο της ακολουθίας όλοι οι επόμενοι θα βρίσκονται μέσα στην περιοχή αυτή. Σύμφωνα με τον ορισμό, αυτό μπορεί να γίνει για οσοδήποτε μικρή περιοχή του L.

Φυσικά είναι δυνατόν μια ακολουθία να μην συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό. Μπορεί για παράδειγμα να αποκλίνει στο \( +\infty ή στο ―\infty ή ακόμα να μην έχει όριο καθόλου. Παράδειγμα ακολουθίας που δεν έχει όριο είναι η \( (-1)^n. \) Αν όμως μια ακολουθία έχει όριο είτε πραγματικό αριθμό είτε άπειρο, τότε αποδεικνύεται ότι αυτό είναι μοναδικό.

Στη γενική περίπτωση ένος μετρικού χώρου Μ, και όχι συγκεκριμένα του \R, ο ορισμός είναι αντίστοιχος και η απόσταση ορίζεται από τη μετρική του χώρου αυτού.

Η έννοια του ορίου ακολουθίας και του ορίου συνάρτησης είναι πολύ στενά συνδεδεμένα. Μάλιστα ο ορισμός του ορίου ακολουθίας μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ορίσουμε γενικά το όριο συνάρτησης.
Όριο συνάρτησης

Κύριο λήμμα: Όριο συνάρτησης

Έστω ότι \( f: A \rightarrow \mathbb{R} \) είναι μια συνάρτηση με \( A \subseteq \mathbb{R} \) και \( x_0 \) είναι ένας πραγματικός αριθμός. Η έκφραση:

\( \lim_{x \to x_0}f(x) = L \)

σημαίνει ότι το f(x) παίρνει τιμές όσο θέλουμε κοντά στο L αρκεί το x να πλησιάσει αρκετά κοντά το \( x_0 \). Όταν γίνεται αυτό, λέμε ότι το όριο της f καθώς το x τείνει στο \( x_0 \) είναι L.

Να σημειώσουμε ότι η πιο πάνω έκφραση μπορεί να είναι αληθής ακόμα και όταν το L δεν είναι η τιμή της συνάρτησης στο \( x_0 \), δηλαδή \( f(x_0) \neq L \) ή ακόμα και όταν το L δεν είναι τιμή της συνάρτησης για κανένα x του πεδίου ορισμού της. Επίσης η έκφραση αυτή έχει νόημα μόνο καθώς το x πλησιάζει συγκεκριμένα σημεία \( x_0 \). Τα σημεία αυτά ενδέχεται να μην ανήκουν στο πεδίο ορισμού της f, δηλαδή η πιο πάνω έκφραση μπορεί να έχει νόημα και για σημεία \( x_0 \) στα οποία η f δεν ορίζεται καν. Τα επόμενα παραδείγματα ξεκαθαρίζουν κάπως την κατάσταση.

Θεωρείστε την συνάρτηση \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) με \( f(x)=\frac{x}{x^2+1} \) και ας δούμε πως συμπεριφέρεται καθώς το x πλησιάζει τον αριθμό 2.
f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1)
0.4121 0.4012 0.4001 \Rightarrow 0.4 \Leftarrow 0.3998 0.3988 0.3882

Καθώς το x πλησιάζει το 2, η τιμή της συνάρτησης, f(x) πλησιάζει το 0.4 και για αυτό λέμε ότι το όριο της f καθώς το x τείνει στο 2 είναι 0.4 και γράφουμε:

\( \lim_{x\to c} f(x) \)

Σε αυτή την περίπτωση η συνάρτηση f ορίζεται στο σημείο x = 2 και ισχύει:

\( \lim_{x\to c} f(x) = f(x_0) \)

Θεωρείστε τη συνάρτηση \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) με:

\( g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{if }x\ne 2 \\ \\ 0, & \mbox{if }x=2 \end{matrix}\right. \)

Το όριο της g καθώς το x πλησιάζει το 2 είναι 0.4 όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα αλλά, εδώ αν και η f ορίζεται στο σημείο x = 2 ισχύει:

\( \lim_{x\to 2}g(x)\neq g(2) \)

Στα προηγούμενα δύο παραδείγματα μελετήσαμε το όριο της συνάρτησης σε ένα σημείο x_0 του πεδίου ορισμού της. Θεωρείστε τώρα τη συναρτηση f \mathbb{R}-\lbrace 1 \rbrace \rightarrow \mathbb{R} με:

\( f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} \)

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.95 1.99 1.999 \Rightarrow undef \Leftarrow 2.001 2.010 2.10

Σε αυτή την περίπτωση η f δεν ορίζεται στο σημείο 1 αλλά καθώς το x πλησιάζει το 1 η f πλησιάζει τον αριθμό 2. Η f αν και δεν ορίζεται στο σημείο 1 έχει όριο καθώς το x τείνει στο 1, τον αριθμό 2. Γράφουμε:

\( \lim_{x \to 1}f(x) = 2 \)

Αυστηρός ορισμός

Μέχρι τώρα έχουμε χρησιμοποιήσει εκφράσεις όπως πλησιάζει, τείνει, γίνεται όσο θέλουμε κοντά οι οποίες φυσικά δεν είναι αυστηρές. Η έννοια του ορίου ορίζεται αυστηρά παρακάτω.

Έστω f:A \rightarrow \mathbb{R} μια συνάρτηση και x0 ένα σημείο συσσώρευσης του Α. Λέμε ότι το όριο της f στο σημείο x0 είναι ίσο με τον πραγματικό αριθμό L, αν για μια οποιαδήποτε ακολουθία xn στο Α που συγκλίνει στο x0 η ακολουθία (f(xn)) συγκλίνει στο L.

\( \lim_{x \to x_0}f(x) = L \Leftrightarrow \Big(\forall (x_n) : (x_n \rightarrow x_0) \rightarrow (f(x_n) \rightarrow L)\Big) \)

Ο παραπάνω ορισμός του ορίου μπορεί να διατυπωθεί και με την χρήση των ε και δ. Ο ε-δ ορισμός του ορίου συνάρτησης είναι ο εξής:

Έστω f:A \rightarrow \mathbb{R} μια συνάρτηση και x0 ένα σημείο συσσώρευσης του Α. Λέμε ότι το όριο της f στο σημείο x0 είναι ίσο με τον πραγματικό αριθμό L, αν: για κάθε ε>0 υπάρχει (τουλάχιστον ένα) δ = δ(ε)>0 τέτοιο ώστε:

αν \( x \in A \) και \( 0 < |x-x_0|<\delta \) , τότε \( |f(x)-L|<\epsilon. \)

Φυσικά είναι δυνατόν μια συνάρτηση να μην έχει όριο στο x0 κάποιο πραγματικό αριθμό αλλά να έχει όριο το \( +\infty \) ή το \( -\infty \) ή ακόμα να μην έχει όριο καθόλου. Αντίστιχοι ορισμοί μπορούν να δοθούν για μη πεπερασμένο όριο συνάρτησης στο \( x_0 \).
Όριο συνάρτησης στο άπειρο

Ορισμένες φορές επιθυμούμε να δούμε πως συμπεριφέρεται μια συνάρτηση όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή μεγαλώνει απεριόριστα. Για αυτές τις περιπτώσεις υπάρχει η έννοια του όριου της συνάρτησης το άπειρο. Για παράδειγμα για τη συνάρτηση: \( f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) με\( f(x) = \frac{1}{x} \) έχουμε τα εξής:

f(1) = 1
f(10) = 0.1
f(100) = 0.01

\( \vdots \)

f(100000) = 0.00001

Είναι εύκολο να δούμε ότι οι τιμές της f πλησιάζουν ολοένα και περισσότερο το 0 καθώς το x αυξάνεται, χωρίς όμως να το φτάνουν ή να το ξεπερνούν ποτέ. Θα μπορούσαμε λοιπόν να πούμε ότι το όριο της f στο +\infty είναι μηδέν. Ο αυστηρός ορισμός είναι ο εξής:

Έστω \( f:A \rightarrow \mathbb{R} \) μια συνάρτηση και έστω ότι το \( +\infty \) είναι σημείο συσσώρευσης του Α. Λέμε ότι το όριο της f στο σημείο \( x_0 \) είναι ίσο με τον πραγματικό αριθμό L, αν: για κάθε ε>0 υπάρχει (τουλάχιστον ένα) δ = δ(ε)>0 τέτοιο ώστε:

αν \( x \in A \) και \( x >\delta \), τότε \( |f(x)-L|<\epsilon. \)

Δείτε επίσης

Ακολουθία Κωσύ

Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Scientific Library