Τομή δύο μη κενών συνόλων Α και Β ενός συνόλου αναφοράς Ω ονομάζουμε το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά στοιχεία των συνόλων Α και Β.

Η τομή των Α και Β συμβολίζεται με \( \Alpha \cap \Beta \) και ορίζεται ως:
\( A\cap B= {x:x \in \Alpha \land x \in \Beta} \)

Για παράδειγμα:

Αν Α={1,2,3,α,β,γ} και Β={1,3,4,5,6,α,γ} είναι \( Α \cap Β={1,3,α,γ} \)

Αν Α={1,2,3,4} και Β={5,6,α,γ} είναι \( \Alpha\cap \Beta= \varnothing \) όπου \( \varnothing \) είναι το κενό σύνολο, δηλαδή το σύνολο το οποίο δεν έχει στοιχεία.

Ακόμη για τα σύνολα \( \Alpha\ne \varnothing, \Beta\ne \varnothing \)έχουμε: \( \Alpha\cap \Beta= \varnothing \Leftrightarrow \Alpha \land \Beta \) είναι ξένα (disjoint) μεταξύ τους.
Ιδιότητες της πράξης της τομής συνόλων

Η τομή συνόλων είναι μια πράξη μεταξύ συνόλων, για την οποία ισχύουν οι ιδιότητες:
(όπου Α, Β, Γ ⊆ Ω και Ø είναι το κενό σύνολο)

\( A\cap A= A \)(ανακλαστική ιδιότητα)
\( A\cap \Omega=A \)
\( A\cap A^c= \varnothing \)
\( A\cap B=B\cap A \)(αντιμεταθετική ιδιότητα)
\( A\cap (B\cap \Gamma)=(A\cap B)\cap \Gamma \) (προσεταιριστική ιδιότητα)
\( A\cap B \subseteq A και A\cap B \subseteq B \)
\( A \subseteq B \Leftrightarrow A\cap B=A \)
\( A \subseteq B \Rightarrow A\cap \Gamma \subseteq B\cap \Gamma \)

Ακόμη για τις πράξεις της ένωσης και της τομής συνόλων ισχύουν και οι γενικές ιδιότητες:

\( A\cup (B\cap \Gamma)=(A\cup B)\cap(A\cup \Gamma) \)(επιμεριστική ιδιότητα της ένωσης ως προς την τομή)
\( A\cap (B\cup \Gamma)=(A\cap B)\cup(A\cap \Gamma) \)(επιμεριστική ιδιότητα της τομής ως προς την ένωση)
\( A\cup (A\cap B)=A\cap (A\cup B)=A \)(ιδιότητα της απορρόφησης)

Δείτε επίσης

Θεωρία συνόλων

Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Scientific Library