Ακέραια περιοχή

Στην άλγεβρα ακέραια περιοχή (Integral domain) είναι κάθε μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο 1 ≠ 0 (δηλαδή με μοναδιαίο στοιχείο διαφορετικό του μηδενικού) ο οποίος δεν έχει μηδενοδιαιρέτες. Η ιδιότητα 1 ≠ 0 απαιτείται έτσι ώστε ο μηδενικός δακτύλιος {0} να μην συμπεριλαμβάνεται στις ακέραιες περιοχές. Η έννοια της ακέραιας περιοχής αποτελεί γενίκευση των ακεραίων και προσφέρει ένα φυσικό περιβάλλον για ανάπτυξη της έννοιας της διαιρετότητας.
Ορισμός

Η έννοια της ακέραιας περιοχής μπορεί να οριστεί με διάφορους τρόπους. Ο πιο συνηθισμένος γίνεται μέσω της έννοιας του μηδενοδιαιρέτη. Συγκεκριμένα, ένας δακτύλιος (R,+,\circ) ονομάζεται ακέραια περιοχή αν είναι μεταθετικός, έχει μοναδιαίο στοιχείο διαφορετικό του μηδενικού και δεν έχει μηδενοδιαιρέτες (δηλαδή για όλα τα στοιχεία x, y του δακτυλίου, αν xy = 0 τότε είτε x = 0 ή y = 0).

Ισοδύναμοι ορισμοί είναι οι εξής:

ακέραια περιοχή είναι κάθε μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο, τέτοιος ώστε το μηδενικό ιδεώδες {0} να είναι πρώτο ιδεώδες.
ακέραια περιοχή είναι κάθε μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο, που είναι υποδακτύλιος κάποιου σώματος.
ακέραια περιοχή είναι κάθε μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο τέτοιος ώστε για κάθε μη μηδενικό στοιχείο r του δακτυλίου, η απεικόνιση που στέλνει κάθε στοιχείο x του δακτυλίου στο γινόμενο xr να είναι ένα προς ένα.

Παραδείγματα

Το \( \mathbb{Z}_4 \) δεν είναι ακέραια περιοχή γιατί έχει μηδενοδιαιρέτες. Για παράδειγμα το \( [2] \in \mathbb{Z}_4 \) είναι ένας μηδενοδιαιρέτης καθώς \( [2][2]=[4]=0_{\mathbb{Z}_4} \) όμως \( [2] \ne 0_{\mathbb{Z}_4} \).

Ο μηδενικός δακτύλιος δεν είναι ακέραια περιοχή. Αυτό συμβαίνει επειδή η συνθήκη 1 ≠ 0 στον ορισμό της ακέραιας περιοχής είναι ισοδύναμη με το ότι ο R είναι ο μη μηδενικός δακτύλιος. Πράγματι έστω ότι ισχύει 1 = 0, οπότε έχουμε ότι \( x=x\circ 1_R=x\circ 0_R =0_R \) και αυτό για κάθε \( x \in R \), οπότε ο R είναι ο μηδενικός δακτύλιος.

Κάθε σώμα είναι ακέραια περιοχή. Ειδικότερα στους πεπερασμένους δακτυλίους η έννοια της ακέραιας περιοχής και του σώματος ταυτίζονται.

Ο δακτύλιος Z[x] των πολυωνύμων μιας μεταβλητής με συντελεστές ακεραίους είναι ακέραια περιοχή.

Ο δακτύλιος \( M_n(\mathbb{C}) \) των \( n\times n \) πινάκων με συντελεστές από το σώμα \( \mathbb{C} \) δεν είναι ακέραια περιοχή επειδή δεν είναι μεταθετικός.

Οι δακτύλιοι \( \mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R} \) είναι ακέραιες περιοχές.