Ακέραιοι ονομάζονται όλοι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετους τους και το μηδέν. Το σύνολο των ακεραίων δηλαδή το σύνολο:
\( \mathbb{Z}=\{0,\pm1,\pm2,...\} \)

συμβολίζεται με το γράμμα \mathbb{Z}, αρχικό της λέξης Zahlen που στα γερμανικά σημαίνει αριθμός.

Το σύνολο \mathbb{Z} ορίζεται επίσης ως εξής:
\( \mathbb{Z}=\{x-y:x,y\in\mathbb{N}\} \)

.

Όπως και το σύνολο των φυσικών, το σύνολο των ακεραίων είναι άπειρο αριθμήσιμο με πληθάριθμο \( \aleph_0 \) (άλεφ-μηδέν).

Αλγεβρικές Ιδιότητες

Οι ακέραιοι αριθμοί αποτελούν αντιμεταθετικό δακτύλιο ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Το άθροισμα και το γινόμενο δυο ακεραίων είναι δηλαδή και αυτό ακέραιος. Ισχύουν η αντιμεταθετική και προσετεριστική ιδιότητα ως προς προσθεση και πολλαπλασιασμο και ο πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση.

Οι ακέραιοι αριθμοί δεν αποτελούν σώμα. Ο αντίστοφος ενός ακεραίου ως προς τον πολλαπλασιασμό δεν είναι δηλαδη απαραίτητα ακέραιος. Το μικρότερο σώμα που περιέχει τους ακεραίους είναι οι ρητοί αριθμοί.

Πρόσθεση	Πολλαπλασιασμός
\( a+b\in\mathbb{Z} \)	\( a\times b\in\mathbb{Z} \)	σύνολο κλειστό ως προς τις πράξεις
\( a+b=b+a\, \)	\( a\times b=b\times a \)	αντιμεταθετική ιδιότητα
\( a+(b+c)=(a+b)+c\, \)	\( a\times (b\times c)=(a\times b)\times c \)	προσεταιριστική ιδιότητα
\( a+0=a\, \)	\( a\times 1=a\)	ουδέτερο στοιχείο
\( a+(-a)=0\, \)	δεν υπάρχει	αντίθετο στοιχείο
\( a\times(b+c)=(a\times b) + (a\times c) \)		επιμεριστική ιδιότητα

Διάταξη

Οι ακέραιοι αποτελούν ένα γνησίως διατεταγμένο σύνολο:

... < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < ...

Οι ακέραιοι αποτελούν επομένως ένα διατεταγμένο δακτύλιο.
Κατασκευή

Το σύνολο των ακεραίων μπορεί να κατασκευαστεί από τους φυσικούς αριθμούς.

Θεωρούμε το σύνολο \mathbb{N} \times \mathbb{N} των ζευγαριών των φυσικών αριθμών και ορίζουμε την ακόλουθη σχέση ισοδυναμίας:

\( (a, b) \sim (c, d) \Leftrightarrow a + d = c + b. \)

Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \,/\! \sim \) ορίζει τους φυσικούς αριθμούς \( \mathbb{Z} \). Την κλάση ισοδυναμίας του ζεύγους (a, b) τη συμβολίζουμε με [(a, b)] ή a- b. Έτσι στην κλάση ισοδυναμίας π.χ. του 0 ανήκουν τα μεταξύ τους ισοδύναμα ζεύγη (1,1), (2,2),... .

Ένας ακέραιος αριθμός (a, b) είναι θετικός, όταν a > b, αρνητικός όταν a < b και 0 όταν a = b. Κάθε ακέραιος είναι ισοδύναμος με έναν της μορφής (n,0), (0,n) ή (0,0), ο οποίος διαλεγεται συνήθως και ως αντιπρόσωπος της αντίστοιχης κλάσης.

Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός μπορούν να οριστούν αντίστοιχα με τις πράξεις στους φυσικούς αριθμούς:

\( [(a,b)]+[(c,d)] = [(a+c,b+d)].\, \)
\( [(a,b)]\cdot[(c,d)] = [(ac+bd,ad+bc)].\, \)

Το αντίστροφο (ως προς την πρόσθεση) στοιχείο προκύπτει από την αναστροφή της σειράς των όρων του ζευγους:

\(-[(a,b)] = [(b,a)].\, \)

Η συνήθης διάταξη δίνεται από τη σχέση:

\( [(a,b)]<[(c,d)] \Leftrightarrow a+d < b+c.\, \)

Πληθάριθμος

Το σύνολο των ακεραίων έχει πληθάριθμο \aleph_0 (άλεφ-μηδέν), όπως και το σύνολο των φυσικών. Αυτό αποδεικνύεται από την ύπάρξη αμφιμονότιμης και επί συνάρτησης \( f:\mathbb{Z}\to \mathbb{N}, \) σύναρτησης δηλαδή που κάθε στοιχείο των φυσικών αριθμών είναι μια αντιστοιχιση από ένα ακριβώς στοιχείο των ακεραίων:

\( f(x) = \begin{cases} 2|x|, & x < 0 \\ 2x+1, & x \ge 0. \end{cases} \)

Δείτε επίσης

Σύνολο των

φυσικών αριθμών \( \N \)
ρητών αριθμών \( \Q \)
πραγματικών αριθμών \( \R \)
μιγαδικών αριθμών \( \C. \)

Scientific Library