Στα μαθηματικά, οι υπερβολικές συναρτήσεις (Hyperbolic functions )είναι ανάλογες των συμβατικών τριγωνομετρικών ή κυκλικών συναρτήσεων. Οι βασικές υπερβολικές συναρτήσεις είναι το υπερβολικό ημίτονο (συμβολίζεται sinh) και το υπερβολικό συνημίτονο (cosh), από τις οποίες προκύπτουν η υπερβολική εφαπτομένη (tanh) και οι υπόλοιπες υπερβολικές, κατ' αναλογία των παράγωγων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Οι συναρτήσεις αυτές ονομάστηκαν έτσι επειδή η γεωμετρική σχέση τους με μία υπερβολή είναι σχεδόν ίδια με την σχέση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με την περιφέρεια.[1]

Αλγεβρικές εκφράσεις

Υπερβολικό ημίτονο

\( \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = -i \sin ix \! \)

Υπερβολικό συνημίτονο

\( \cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} = \cos ix \! \)

Υπερβολική εφαπτομένη

\( \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} = -i \tan ix \! \)

Υπερβολική συνεφαπτομένη

\( \coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix \! \)

Υπερβολική τέμνουσα

\( \operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \sec {ix} \! \)

υπερβολική συντέμνουσα

\( \operatorname{cosech} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = i\,\csc\,ix \! \)

Όπου i είναι η φανταστική μονάδα που ορίζεται ως i ^2=-1.
Χρήσιμες σχέσεις

\( \sinh(-x) = -\sinh x\,\! \)
\( \cosh(-x) = \cosh x\,\! \)

Οπότε:

\( \tanh(-x) = -\tanh x\,\! \)
\( \coth(-x) = -\coth x\,\! \)
\( \operatorname{sech}(-x) = \operatorname{sech}\, x\,\! \)
\( \operatorname{cosech}(-x) = -\operatorname{cosech}\, x\,\! \)

Προκύπτει δηλαδή ότι οι cosh x και sech x είναι άρτιες συναρτήσεις, ενώ οι υπόλοιπες είναι περιττές συναρτήσεις.

\( \operatorname{sech}^{-1}x=\cosh ^{-1}\left( \frac{1}{x} \right) \)

\( \operatorname{cosech}^{-1}x=\sinh ^{-1}\left( \frac{1}{x} \right) \)

\( \coth ^{-1}x=\tanh ^{-1}\left( \frac{1}{x} \right) \)

Τα υπερβολικά ημίτονα και συνημίτονα ικανοποιούν τη σχέση:

\( \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\, \)

η οποία είναι αντίστοιχη της συμβατικής τριγωνομετρικής σχέσης:

\( \sin^2 x + \cos^2 x = 1\, \)

Η υπερβολική εφαπτομένη είναι λύση του μη γραμμικού προβλήματος οριακών τιμών.[2]:

\( \frac 1 2 f'' = f^3 - f \qquad ; \qquad f(0) = f'(\infty) = 0 \)

Αντίστροφες υπερβολικές εκφρασμένες με λογάριθμους

\( \sinh ^{-1}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+1} \right) \)

\( \cosh ^{-1}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right);x\ge 1 \)

\( \tanh ^{-1}x=\frac{1}{2}\ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right);\left| x \right|<1 \)

\( \operatorname{sech}^{-1}x=\ln \left( \frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x} \right);0<x\le 1 \)

\( \operatorname{cosech}^{-1}x=\ln \left( \frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{\left| x \right|} \right) \)

\( \coth ^{-1}x=\frac{1}{2}\ln \left( \frac{x+1}{x-1} \right);\left| x \right|>1 \)

Παράγωγοι

\( \frac{d}{dx}\sinh(x) = \cosh(x) \, \)

\( \frac{d}{dx}\cosh(x) = \sinh(x) \, \)

\( \frac{d}{dx}\tanh(x) = 1 - \tanh^2(x) = \hbox{sech}^2(x) = 1/\cosh^2(x) \, \)

\( \frac{d}{dx}\coth(x) = 1 - \coth^2(x) = -\hbox{csch}^2(x) = -1/\sinh^2(x) \, \)

\( \frac{d}{dx}\ \hbox{csch(x)} = - \coth(x)\ \hbox{csch(x)}\, \)

\( \frac{d}{dx}\ \hbox{sech(x)} = - \tanh(x)\ \hbox{sech(x)}\, \)

\( \frac{d}{dx}\left( \sinh ^{-1}x \right)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \)

\( \frac{d}{dx}\left( \cosh ^{-1}x \right)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} \)

\( \frac{d}{dx}\left( \tanh ^{-1}x \right)=\frac{1}{1-x^{2}} \)

\( \frac{d}{dx}\left( \operatorname{csch}^{-1}x \right)=-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}} \)

\( \frac{d}{dx}\left( \operatorname{sech}^{-1}x \right)=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}} \)

\( \frac{d}{dx}\left( \coth ^{-1}x \right)=\frac{1}{1-x^{2}} \)

Συνήθη ολοκληρώματα

\( \int\sinh ax\,dx = \frac{1}{a}\cosh ax + C \)

\( \int\cosh ax\,dx = \frac{1}{a}\sinh ax + C \)

\( \int \tanh ax\,dx = \frac{1}{a}\ln(\cosh ax) + C \)

\( \int \coth ax\,dx = \frac{1}{a}\ln(\sinh ax) + C \)

\( \int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C \)

\( \int{\frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C \)

\( \int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=\frac{1}{a}\tanh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}<a^{2} \)

\( \int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=\frac{1}{a}\coth ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}>a^{2} \)

\( \int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=-\frac{1}{a}\operatorname{sech}^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C \)

\( \int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=-\frac{1}{a}\operatorname{csch}^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C \)

Στις πιο πάνω σχέσεις, C καλούμε την σταθερά ολοκλήρωσης.
Σχέσεις με σειρά Τέιλορ

Είναι δυνατόν να εκφράσουμε τις υπερβολικές συναρτήσεις με χρήση σειράς Taylor:

\( \sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \)

\( \cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} \)

\( \tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \)

\( \coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi \)(Σειρά Laurent)

\( \operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \)

\( \operatorname {csch}\, x = \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi \)(Σειρά Laurent)

όπου

\( B_n \, \) είναι ο νιοστός αριθμός Μπερνούλι
\( E_n \, \) είναι ο νιοστός αριθμός Όιλερ

Αναφορές

↑ Tom M. Apostol. Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός Τόμος Ι. Ατλαντίς. ISBN 9600700672.
↑ Eric W. Weisstein. Hyperbolic Tangent. MathWorld. Ανακτήθηκε στις 2008-10-20.

Δείτε επίσης

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις
Υπερβολή (γεωμετρία)

Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Hyperbolic function της Αγγλόγλωσσης Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).

Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Scientific Library