Θεωρία ομάδων

Στα μαθηματικά, θεωρία ομάδων (Group Theory) είναι το πεδίο που μελετά τις αλγεβρικές δομές γνωστές ως ομάδες.

Οι ομάδες εισήχθησαν πρώτα στα μαθηματικά τον 19ο αιώνα από μαθηματικούς όπως ο Γκαλουά, ο Άμπελ και ο Κοσύ, στον αγώνα τους για γενικές λύσεις πολυωνυμικών εξισώσεων. Ο τυπικός αφαιρετικός ορισμός που χρησιμοποιείται σήμερα δεν εισήχθηκε παρά μόνο τον 20ο αιώνα.

Οι ομάδες έχουν γίνει κεντρικό αντικείμενο στη μελέτη της αφηρημένης άλγεβρας, και αποτελούν βασικά συστατικά πιο περίπλοκων αλγεβρικών δομών όπως ο δακτύλιος, το πεδίο ή ο διανυσματικός χώρος, και συναντώνται συχνά παντού στα μαθηματικά. Η θεωρία ομάδων έχει πολλές εφαρμογές στη Φυσική και τη Χημεία, και μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιαδήποτε κατάσταση που χαρακτηρίζεται από συμμετρία.

Η ταξινόμηση πεπερασμένων απλών ομάδων είναι ένα από τα μεγάλα μαθηματικά κατορθώματα του 20ου αιώνα.
Ορισμός ομάδας

Στα μαθηματικά, η ομάδα διευκρινίζεται ως εξής:

Ένα ζεύγος (G,*) με ένα σύνολο G και μια δυαδική πράξη \( *\colon G \times G \rightarrow G, (a,b) \mapsto a*b \) ονομάζεται ομάδα, όταν ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
Προσεταιριστική: Για κάθε στοιχείο της ομάδας a, b και c ισχύει: \( (a*b)*c = a*(b*c). \)
ουδέτερο στοιχείο: Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο e\in G, για το οποίο για κάθε στοιχείο a της ομάδας ισχύει: a*e = e*a = a.
Αντίστροφο στοιχείο: Για κάθε στοιχείο a της ομάδας υπάρχει ένα στοιχείο \( a^{-1}\in G \) έτσι ώστε να ισχύει \( a*a^{-1} = a^{-1}*a = e. \)

Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα group theory της Αγγλόγλωσσης Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).