Ομάδα

Στα μαθηματικά, μία ομάδα είναι ένα σύστημα στοιχείων, του οποίου η σύνθεση που υπόκειται σε ορισμένους κανόνες (νόμους). Η έννοια της ομάδας αναγνωρίζεται ως μία από τις πλέον θεμελιώδεις στην επιστήμη των μαθηματικών και τις εφαρμογές τους. Η θεωρία ομάδων χρησιμοποιείται εκτεταμένα σε διάφορους κλάδους της φυσικής, και ιδιαίτερα στην κβαντική μηχανική και στη σωματιδιακή φυσική όπου εμφανίζονται πολλές συμμετρίες.

Ιστορία

Ένα παράδειγμα ομάδας αποτελούν οι συμμετρίες ενός γεωμετρικού σχήματος. Ενώ όμως εκτενή μελέτη των συμμετριών έχουν πραγματοποιήσει τόσο οι αρχαίοι Αιγύπτιοι όσο και ο Ευκλείδης, οι ομάδες αρχίζουν να αναγνωρίζονται ως μαθηματικά συστήματα μετά τον 18ο αιώνα.

Ένας από τους πρώτους μαθηματικούς που ασχολήθηκαν με τη μελέτη των ομάδων είναι ο Γάλλος Ζοζέφ-Λουί Λαγκράνζ (Joseph-Louis Langrange). Σημαντική επίσης συμβολή είχαν οι μαθηματικοί Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ (Augustin-Louis Cauchy), Νιλς Χένρικ Άμπελ(Niels Henrik Abel) και Εβαρίστ Γκαλουά (Evariste Galois).

Αργότερα, ο Γερμανός μαθηματικός Φέλιξ Κλάιν (Felix Klein), τονίζοντας τη σημασία των ομάδων στα μαθηματικά, θεώρησε τη Γεωμετρία ως το σύνολο των ιδιοτήτων του χώρου που παραμένουν αναλλοίωτες μέσω των στοιχείων μιας ορισμένης ομάδας μετασχηματισμών.

Χαρακτηρισμοί ομάδων

Έστω Α ένα σύνολο διάφορο του κενού και εφοδιασμένο με μία εσωτερική πράξη \circ,δηλαδή \circ:A\times A \rightarrow A

Tότε η δομή (A,\circ ) καλείται :

ημιομάδα ,αν η πράξη είναι προσεταιριστική ,δηλαδή αν ισχύει

\( a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c \qquad \forall a,b,c \in A \)

μονοειδές,αν είναι ημιομάδα και επιπλέον η πράξη έχει ουδέτερο στοιχείο,δηλαδή αν ισχύουν οι εξής δύο συνθήκες:

(i) \( a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c \qquad \forall a,b,c \in A \)

(ii) υπάρχει στοιχείο του Α,το οποίο συμβολίζουμε με e και καλούμε ουδέτερο στοιχείο ,τέτοιο ώστε \( \qquad a\circ e=e \circ a=a, \qquad \forall a\in A \)

ομάδα,αν είναι μονοειδές και κάθε στοιχείο a\in A έχει αντίστροφο,δηλαδή αν ισχύουν οι ακόλουθες συνθήκες:

(i) \( a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c \qquad \forall a,b,c \in A \)

(ii) υπάρχει στοιχείο του Α,το οποίο συμβολίζουμε με e και καλούμε ουδέτερο στοιχείο,τέτοιο ώστε \( \qquad a\circ e=e \circ a=a, \qquad \forall a\in A \)

(iii) για κάθε a\in A υπάρχει στοιχείο του Α,το οποίο συμβολίζουμε με \( a^{-1} \) και καλούμε αντίστροφο του α,τέτοιο ώστε

\( a^{-1}\circ a=a \circ a^{-1} =e \qquad \forall a \in A \)

Επιπλέον μια ομάδα καλείται αβελιανή ή αντιμεταθετική, αν ισχύει η εξής ιδιότητα:

\( a \circ b =b \circ a \qquad \forall a,b \in A \)