Κλίση συνάρτησης (Gradient)

Η γενική διατύπωση γραμμικών συναρτήσεων είναι g(x) = mx+b. Η κλίση μιας γραμμικής συνάρτησης (δηλ. μιας ευθείας) είναι
Η κλίση μιας γραμμικής συνάρτησης.

\( m=\frac {g(x_2)-g(x_1)}{x_2 - x_1} \)

για δύο οποιαδήποτε σημεία \( (x_1, \, g(x_1) \, ), (x_2, \, g(x_2) \, ) \), όταν \( x_1 \) διάφορο \( x_2 \).Αν \( x_1 = x_2 \) Τότε ΔΕΝ ορίζεται κλίση ευθείας .
Η κλίση μιας μη γραμμικής συνάρτησης.

Σε μη γραμμικές συναρτήσεις, π.χ. καμπύλες στο δισδιάστατο χώρο (ως παραστατική περίπτωση) η κλίση ποικίλλει. Ένας τρόπος για να οριστεί η κλίση μιας (μη γραμμικής) συνάρτησης \( \,f(x) \) σε κάποιο σημείο \( \,x_1 \) είναι να ταυτιστεί η κλίση της συνάρτησης στο σημείο (x_1, \, f(x_1)) με την κλίση της εφαπτομένης που έρχεται σε επαφή με την συνάρτηση στο συγκεκριμένο σημείο. Η επόμενη ερώτηση είναι λοιπόν πώς να υπολογιστεί η κλίση της εφαπτομένης. Είναι εύκολο να κατανοηθεί ότι αν επιλεχτεί ένα σημείο \( \,x_2 \) κοντά στο \( \, x_1 \)η τέμνουσα που διέρχεται από τα σημεία \( (x_1, \, f(x_1)) \) και \( (x_2, \, f(x_2)) \) έχει περίπου την ίδια κλίση με την εφαπτόμενη. Η κλίση της τέμνουσας είναι

\( \frac {f(x_1)-f(x_2)}{x_2 - x_1}. \)

Το παραπάνω κλάσμα ονομάζεται μέσος ρυθμός μεταβολής. Όσο πλησιέστερα επιλεχτεί το σημείο \,x_2 στο σημείο \,x_1, τόσο καλύτερη είναι η προσέγγιση της κλίσης της εφαπτομένης. Η άπειρη προσέγγιση του σημείου \,x_2 στο σημείο \,x_1 και μαζί της ο υπολογισμός της κλίσης της εφαπτομένης εκφράζεται στα μαθηματικά ως ακολούθως

\( f'(x_1) = \lim_{x_2 \rightarrow x_1} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \)

\( = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h}. \)

\( \,f'(x_1) \) ονομάζεται παράγωγος της συνάρτησης \( \,f(x) \) στο σημείο \( \,x_1 \). Επίσης μπορεί να ειπωθεί πως η παράγωγος είναι το όριο του μέσου ρυθμού μεταβολής εάν το \( \,x_2 \) τείνει στο \( \,x_1 \). Αν αυτό το όριο υπάρχει τότε η συνάρτηση \( \,f(x) \) ονομάζεται διαφορίσιμη, αν όχι, μη διαφορίσιμη.

Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Scientific Library