Στα μαθηματικά, συνάρτηση (Function), ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων, που καλούνται σύνολο ορισμού και σύνολο τιμών, κατά την οποία κάθε ένα στοιχείο του συνόλου ορισμού αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο στοιχείο του συνόλου τιμών. Αν Α και Β είναι τα δύο σύνολα, γράφουμε f : Α → Β.

Ιστορικά η έννοια της συνάρτησης εισήχθηκε στα μαθηματικά από το θεμελιωτή του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού ελβετό μαθηματικό Gottfried Wilhelm Leibniz to 1694.

Οι όροι απεικόνιση και συνάρτηση είναι συνώνυμοι.

Γενικά

Μπορούμε να πούμε ότι μια συνάρτηση είναι ο «τρόπος» ή «κανόνας» με τον οποίο αντιστοιχίζεται μία μοναδική τιμή της εξαρτημένης ποσότητας (σύνολο τιμών) σε κάθε τιμή της ανεξάρτητης ποσότητας (σύνολο ορισμού). Η έννοια της συνάρτησης εκφράζει τη διαισθητική ιδέα της ντετερμινιστικής εξάρτησης μιας ποσότητας από μια άλλη. Τούτο διότι εξορισμού απαγορεύεται η αντιστοίχιση μιας τιμής της ανεξάρτητης ποσότητας σε περισσότερες από μία τιμές της εξαρτημένης ποσότητας κατά τρόπο στοχαστικό ή τυχαίο, δηλαδή κατά τρόπο που δεν θα μπορούσαμε να γνωρίζουμε από πριν δεδομένο όρισμα σε ποια ακριβώς τιμή αντιστοιχεί.

Ορολογία

Γραφική παράσταση της συνάρτησης

\( \begin{align}&\scriptstyle \\ &\textstyle f(x) = \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align} \)
στο διάστημα ορισμού [-1,1.5] του \( \mathbb{R} \) και με πεδίο τιμών επίσης στο [-1,1.5] του \( \mathbb{R} \).

Αν Α και Β είναι δύο σύνολα και f : Α → Β μια συνάρτηση από το Α στο Β, το Α λέγεται σύνολο ορισμού και το Β σύνολο τιμών. Κάθε στοιχείο a του Α λέγεται όρισμα της f και κάθε στοιχείο b του Β στο οποίο αντιστοιχίζεται ένα τουλάχιστον όρισμα a λέγεται τιμή ή εικόνα της f στο a, και γράφουμε b = f(a).

Σύμφωνα με τον προηγούμενο ορισμό, για να είναι η f συνάρτηση, θα πρέπει να ισχύει: αν f(a) ≠ f(a') τότε a ≠ a'. Δηλαδή δυο τιμές που είναι διαφορετικές να μην αντιστοιχούν παρά σε διαφορετικά ορίσματα.

Το τυχαίο στοιχείο του συνόλου Α, δηλαδή του πεδίου ορισμού, ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή της συνάρτησης. Ενώ το τυχαίο στοιχείο του συνόλου Β, δηλαδή του συνόλου τιμών, ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή της συνάρτησης. Θα μπορούσε να ειπωθεί ότι οι δύο όροι δηλώνουν τη διαισθητική σχέση αιτιότητας μεταξύ των δύο μεταβλητών. Η ανεξάρτητη μεταβλητή λαμβάνει τιμή αυθαίρετα, ενώ η εξαρτημένη μεταβλητή λαμβάνει την τιμή της πάντα σε σχέση με την ίδια τη συνάρτηση και την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Το γράφημα της συνάρτησης f : A → B είναι το σύνολο που αποτελείται από τα διατεταγμένα ζευγάρια της αντιστοίχισης
G(f) = {(a,b)∈ A×B, όπου b = f(a)}

Για συναρτήσεις ορισμένες στο πεδίο των πραγματικών αριθμών το γράφημα ή αλλιώς γραφική παράσταση είναι η απεικόνιση αυτών των ζευγαριών στο καρτεσιανό επίπεδο, όπου κάθε ζευγάρι ορίσματος-τιμής είναι ένα σημείο της γραφικής παράστασης και το σύνολο των σημείων σχηματίζουν τη καμπύλη της γραφικής παράστασης.

Η αντίστροφη αντιστοίχιση f ^-1 της συνάρτησης f είναι η αντιστοίχιση από το Β στο Α, που ορίζεται ως εξής:

f ^-1(b) = a ανν f(a) = b

Η αντίστροφη αντιστοίχιση μιας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε συνάρτηση, μια και δεν υπακούει απαραίτητα στο αξίωμα μονοτιμίας: ένα στοιχείο b μπορεί να είναι τιμή δύο διαφορετικών ορισμάτων a και a' της f. Στην περίπτωση πάντως που είναι, η f λέγεται αντιστρέψιμη και η f -1 αντίστροφη συνάρτηση της f.

Ορισμοί

Στα πλαίσια της θεωρίας συνόλων η συνάρτηση ορίζεται από το γράφημά της. Συγκεκριμένα, μια συνάρτηση f : A → B θεωρείται ως σχέση μεταξύ των Α και Β, δηλαδή ως ένα σύνολο f ⊂ A×B, η οποία υπακούει στο αξίωμα της μονοτιμίας, που εδώ παίρνει την εξής μορφή:

αν (a,b) ∈ f και (a,b') ∈ f τότε b = b'

Από την άποψη της μαθηματικής λογικής, η έννοια της συνάρτησης εκφράζεται με βάση μια τυπική γλώσσα ως ένα σύμβολο f βαθμού 2, το οποίο πάλι υπακούει στο αξίωμα μονοτιμίας:
αν f(a,b) και f(a,b') τότε b ≡ b'

Στα πλαίσια του λ-λογισμού, η έννοια της συνάρτησης εκφράζεται με βάση μία τυπική γλώσσα ως λογικός όρος t, ο οποίος μπορεί αξιωματικά να

εφαρμόζεται σε άλλον όρο s, ο οποίος συμπεριφέρεται ως όρισμα, με αποτέλεσμα η σύνταξη t s να ανάγεται (β-αναγωγή) σε έναν νέο όρο που μαθηματικά είναι η τιμή του t(s)
μετατρέπεται σε αφαίρεση ως προς κάποια του μεταβλητή x, με αποτέλεσμα έναν νέο όρο λx.t, ο οποίος συμπεριφέρεται ως γενικός κανόνας αντιστοίχισης μέσα από τον κανόνα της αντικατάστασης:

(λx.t)(s) = t[x:=s]

Η συνηθισμένη διαισθητική ερμηνεία των παραπάνω είναι ότι «η ανεξάρτητη μεταβλητή x αντιστοιχίζεται στην εξαρτημένη μεταβλητή t(x), ώστε αν εφαρμοστεί σε όρισμα s, τότε θα προκύψει η τιμή t(s)».

Είδη συναρτήσεων

Μία συνάρτηση f : A → B λέγεται ένα προς ένα (1-1) ή αμφιμονότιμη ή αμφιμονοσήμαντη όταν αντιστοιχίζει κάθε όρισμα σε αποκλειστικά δική του τιμή, δηλαδή όταν διαφορετικά ορίσματα απεικονίζονται σε διαφορετικές τιμές:

αν a ≠ a' τότε f(a) ≠ f(a')

Μία συνάρτηση f : A → B λέγεται επί (με την έννοια: «το Α απεικονίζεται μέσω της f επί του Β, πάνω στο Β») όταν δεν υπάρχει στοιχείο στο Β που να μην είναι η εικόνα κάποιου στοιχείου στο Α:

για κάθε b∈B υπάρχει a∈A ώστε b = f(a)

Από πολλούς μαθηματικούς, ο όρος «αμφιμονότιμη συνάρτηση» δεν χρησιμοποιείται ως συνώνυμο του «ένα προς ένα συνάρτηση» παρά ως συνώνυμο του «ένα προς ένα και επί». Το δε επίθημα -εση (<ίημι) αποδίδει το γαλλικό -jection (<λατ. jacere), και έτσι χρησιμοποιούνται και οι όροι «ένεση» - «έφεση» - «αμφίεση» για να αποδίδουν τα «injection» - «surjection» - «bijection», τα οποία έχουν επικρατήσει στη δυτική μαθηματική ορολογία, και σημαίνουν «ένα προς ένα» - «επί» - «ένα προς ένα και επί» αντίστοιχα.

Σύγκριση συναρτήσεων και πράξεις

Μία συνάρτηση f είναι ίση με μία συνάρτηση g όταν έχουν το ίδιο σύνολο ορισμού, το ίδιο σύνολο τιμών και αντιστοιχίζουν ίσα ορίσματα σε ίσες τιμές:

f(a) = b ανν g(a) = b

Σύμφωνα εξάλλου με τη συνολοθεωρητική προσέγγιση, δύο συναρτήσεις είναι ίσες όταν τα γραφήματά τους ταυτίζονται (ως σύνολα).

Η (ξένη) ένωση δύο συναρτήσεων f : A → B και g : A' → B', όπου τα Α, Α' είναι σύνολα ξένα μεταξύ τους, είναι η αντιστοίχιση f∪g: A∪A' → B∪B' που ορίζεται ως

f∪g(a) = f(a) και f∪g(a') = g(a')

για κάθε a∈A, a'∈A'.

Η τομή δύο συναρτήσεων f : A → B και g : A' → B' είναι η αντιστοίχιση f∩g: A∩A' → B∩B' που ορίζεται ως

f∩g(a) = b ανν f(a)=g(a)=b

για κάθε a∈ A∩A'.

Η σύνθεση της συνάρτησης f : A → B με την g : B → C είναι η αντιστοίχιση gof: A → C, που ορίζεται ως

gof(a) = g(f(a))

για κάθε a∈ A∩f(a)∈B.

Ιδιότητες

Μια συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη αν και μόνο αν είναι αμφίεση.

H ένωση δύο συναρτήσεων είναι πάλι συνάρτηση, ενώ η τομή όχι πάντα (ωστόσο είναι πάντα μερική συνάρτηση, δες παρακάτω).

Η σύνθεση δύο συναρτήσεων είναι επίσης συνάρτηση.

Αν f : A → B και g : B → C είναι ενέσεις τότε και η σύνθεσή τους gof είναι ένεση.

Αν f : A → B και g : B → C είναι εφέσεις τότε και η σύνθεσή τους gof είναι έφεση.

Γενικεύσεις

Μία αντιστοίχιση f : A → B, η οποία δεν είναι απαραίτητα μονότιμη, αλλά μπορεί να αποδίνει περισσότερες από μία τιμές σε ένα όρισμα, λέγεται πολύτιμη ή πλειότιμη ή πολυσήμαντη συνάρτηση. Παράδειγμα πολύτιμης συνάρτησης είναι η αντίστροφη αντιστοίχιση μιας συνάρτησης.

Μία αντιστοίχιση f : A → B, η οποία δεν αποδίνει απαραίτητα τιμή σε κάθε όρισμα από το Α, λέγεται μερική συνάρτηση, και στην αντίθετη περίπτωση, ολική συνάρτηση. Στην περίπτωση της μερικής συνάρτησης, λέμε ότι η f ορίζεται σε κάποιο στοιχείο a του Α όταν το αντιστοιχίζει σε κάποιο στοιχείο b του Β· το υποσύνολο Α' του συνόλου ορισμού Α στο οποίο η f ορίζεται, λέγεται πεδίο ορισμού (ακόμη, πεδίο), και το υποσύνολο Β' του συνόλου τιμών Β, που αποτελείται από τις εικόνες της f, λέγεται πεδίο τιμών (ακόμη, συμπεδίο) της f.

Μία αντιστοίχιση F : (A → B) → C, που δέχεται δηλαδή συναρτήσεις f : A → B ως ορίσματα και τους αποδίνει τιμή F(f) μέσα στο C, και ακόμη υπακούει στο αξίωμα της μονοτιμίας, λέγεται συναρτησιακό ή συναρτησοειδές. Τυπικά παραδείγματα συναρτησιακών στη μαθηματική ανάλυση είναι το ολοκλήρωμα και η παράγωγος συνάρτησης.

Δείτε ακόμη

Γραφική παράσταση συνάρτησης
Συνέχεια συνάρτησης
Πραγματική συνάρτηση
Μιγαδική συνάρτηση
Συναρτησιακό και Τελεστής
Μερική συνάρτηση
Σχέση
Συνάρτηση μεταφοράς

Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Scientific Library