Διάνυσμα

Διάνυσμα (επίσης άνυσμα) (vector) καλείται γενικά το ευθύγραμμο τμήμα επί του οποίου παριστάνονται τόσο στα μαθηματικά όσο και στις Φυσικές επιστήμες ιδίως στη Μηχανική διάφορα μεγέθη (δύναμης, ταχύτητας, ροπής κλπ) περιέχοντας συνάμα και τις έννοιες της διεύθυνσης και της φοράς.

Υπάρχουν ορισμένα μεγέθη όπως η μάζα, η θερμοκρασία και η απόσταση τα οποία προσδιορίζονται μόνο με το μέτρο τους, (στη φυσική χρειάζεται και η κατάλληλη μονάδα μέτρησης). Τα μεγέθη αυτά ονομάζονται μονόμετρα ή βαθμωτά. Υπάρχουν όμως και μεγέθη όπως η ταχύτητα, η δύναμη, η ορμή, η μετατόπιση κ.α. τα οποία για να προσδιοριστούν επακριβώς δεν είναι αρκετό να γνωρίζουμε μόνο το μέτρο τους (και τη μονάδα μέτρησης). Αυτά τα μεγέθη για να τα προσδιορίσουμε χρειάζεται να ξέρουμε επιπλεόν και τη διεύθυνσή τους στο χώρο και τη φορά τους. Τέτοια μεγέθη ονομάζονται διανυσματικά μεγέθη ή και, απλώς, διανύσματα.

Γενικά

Το διάνυσμα είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα έννοιας που αναπτύχθηκε μέσα από την στενή αλληλεπίδραση Μαθηματικών και Φυσικής. Από την αρχαιότητα ήταν γνωστός με δίαφορες μορφές ο κανόνας του παραλληλογράμμου στους Έλληνες επιστήμονες, σύμφωνα με τον οποίο το μέτρο και κατεύθυνση δύο δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα εκφράζονται με τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν.

Η αποδοχή και η συστηματική χρήση των αρνητικών αριθμών στα μαθηματικά και η μελέτη μεγεθών όπως η ταχύτητα, η δύναμη και η ορμή που χαρακτηρίζονται τόσο από το μέτρο τους όσο και από την κατεύθυνσή τους στο χώρο έφεραν στο προσκήνιο την έννοια του προσανατολισμένου ευθύγραμμου τμήματος και της προσανατολισμένης κίνησης, ιδέες που συναντώνται το 17o αιώνα στα έργα των Ισαάκ Νεύτων (Νιούτον) και G. W. Leibniz (Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς).

Η ανάπτυξη ενός συστηματικού λογισμού με προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα άρχισε για να δοθεί γεωμετρική ερμηνεία στους αρνητικούς αριθμούς αλλά και για να βρεθεί ένας τρόπος αναλυτικής έκφρασης του μήκους και της διεύθυνσης των ευθυγράμμων τμημάτων. Σημαντικό είναι το έργο των Κάσπαρ Βέσελ (C. Wessel) και Ζαν Ρομπέρ Άργκαν (R. Argand) στον ορισμό των πράξεων με τυχαία τμήματα του επιπέδου. Στις εργασίες τους υπάρχουν οι βασικές ιδέες του σημερινού Διανυσματικού Λογισμού.

Η ουσιαστική ανάπτυξη όμως του πεδίου αυτού ξεκινά αργότερα με τη γενίκευση των πιο πανω ιδεών στο τρισδιάστατο χώρο και με τη θεμελίωση μιας γενικής μαθηματικής θεωρίας με τα έργα των Ουίλιαμ Χάμιλτον (W.Hamilton) και Χέρμαν Γκράσσμαν (H. Grassmann). Κατά το 19ο αιώνα η ανάπτυξη του Διανυσματικού Λογισμού επηρεάστηκε από τη φυσική. Το 1880 οι φυσικοί Γιοσάια Ουίλαρντ Γκιμπς (J. W. Gibbs) και Όλιβερ Χέβισαϊντ (O. Heaviside) δημιούργησαν τη σύγχρονη θεωρία του διανυσματικού λογισμού. Τέλος το 1888 ο Τζουζέπε Πεάνο (G. Peano) θεμελίωσε αξιωματικά την έννοια του διανυσματικού χώρου.

Αναπαράσταση ενός Διανύσματος

Στη γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα δηλ, ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα, με το πρώτο άκρο να ονομάζεται αρχή του διανύσματος ή σημείο εφαρμογής και το δεύτερο πέρας του διανύσματος. Ένα διάνυσμα με αρχή το Α και πέρας το Β συμβολίζεται με και παριστάνεται με ένα βέλος που ξεκινά από το Α και καταλήγει στο Β.

Εναλλακτικά για το συμβολισμό των διανυσμάτων χρησιμοποιούνται και έντονα κεφαλαία γράμματα του ελληνικού ή λατινικού αλφαβήτου (για παράδειγμα A \ ) ή μικρά γράμματα επιγραμμισμένα με βέλος (για παράδειγμα ).

Χαρακτηριστικά των διανυσμάτων

Μέτρο διανύσματος

Μέτρο ή μήκος ενός διανύσματος ονομάζεται η απόσταση μεταξύ των άκρων του Α και Β, δηλαδή το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Συμβολίζεται με . Αν το διάνυσμα } έχει μέτρο 1 τότε ονομάζεται μοναδιαίο διάνυσμα.

Φορέας διανύσματος

Φορέας ενός μη μηδενικού διανύσματος ονομάζεται η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα, για παράδειγμα φορέας του διανύσματος είναι η ευθεία ΑΒ.

Αν δύο μη μηδενικά διανύσματα και έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά και λέμε ότι σε αυτή την περίπτωση έχουν ίδια διεύθυνση. Τα συγγραμμικά διανύσματα διακρίνονται σε ομόρροπα και αντίρροπα. Τα μη μηδενικά διανύσματα και είναι:

* Ομόρροπα, όταν έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία που ενώνει τις αρχές τους ή έχουν τον ίδιο φορέα και η μία από τις ημιευθείες ΑΒ και ΕΖ περιέχει την άλλη. Τα συγγραμμικά και ομόρροπα διανύσματα λέμε ότι έχουν ίδια κατεύθυνση (γράφουμε ).

Αντίρροπα, όταν δεν είναι ομόρροπα. Τα συγγραμμικά και αντίρροπα διανύσματα λέμε ότι έχουν αντίθετη κατεύθυνση (γράφουμε ).

Το μηδενικό διάνυσμα

Μηδενικό διάνυσμα είναι το διάνυσμα στο οποίο η αρχή και το περάς συμπίπτουν και συμβολίζεται με . Για παράδειγμα το διάνυσμα είναι ένα μηδενικό διάνυσμα.

Ως φορέα ενός μηδενικού διανύσματος θεωρούμε ότι είναι οποιαδήποτε από τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή του.

Ίσα διανύσματα

Δύο μη μηδενικά διανύσματα ονομάζονται ίσα όταν έχουν ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα (γράφουμε ).

Αντίθετα διανύσματα

Δύο μη μηδενικά διανύσματα ονομάζονται αντίθετα όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα μέτρα (γράφουμε ή ).

Πρόσθεση και Αφαίρεση διανυσμάτων

Πρόσθεση διανυσμάτων

Έστω δύο διανύσματα και και ζητούμε το άθροισμα . Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα και . Το διάνυσμα λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των δύο διανυσμάτων. Το άθροισμα των διανυσμάτων αποδεικνύεται ότι είναι ανεξάρτητο από την επιλογή του σημείου Ο. Το άθροισμα δύο διανυσμάτων μπορεί να βρεθεί και με το λεγόμενο κανόνα του παραλληλογράμμου.

Γωνία δύο διανυσμάτων

Γωνία δύο μη μηδενικών διανυσμάτων ονομάζουμε τη κυρτή γωνία που αυτά σχηματίζουν αν τα πάρουμε με κοινή αρχή και είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σημείου κοινής αρχής.

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Έστω κ ένας πραγματικός αριθμός με κ\ne0 και ένα μη μηδενικό διάνυσμα. Ονομάζουμε γινόμενο του κ με το ένα νέο διάνυσμα το οποίο είναι ομόρροπο του \vec{\alpha} αν κ>0 και αντίρροπο του αν κ<0 και επίσης έχει μέτρο . Αν κ=0 ή τότε ορίζουμε ως το μηδενικό διάνυσμα. Ως συνέπεια του ορισμού ισχύει: . Σημαντικό είναι επίσης το εξής θεώρημα, σύμφωνα με το οποίο αν είναι δύο διανύσματα με , τότε

Ιδιότητες πολλαπλασιασμού αριθμού με διάνυσμα

Για κάθε διάνυσμα και για κάθε αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

1.

2.

3.

Εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων

Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων και συμβολίζεται με και ορίζεται ως

όπου με και συμβολίζουμε τα μέτρα των διανυσμάτων και αντίστοιχα, με θ τη γωνία που σχηματίζεται ανάμεσα στα δύο διανύσματα και cosθ το συνημίτωνό της (ελλ. συνθ ). Το εσωτερικό γινόμενο είναι ουσιαστικά το γινόμενο του πρώτου διανύσματος με τη προβολή του δευτέρου πάνω στο πρώτο. Είναι επίσης φανερό πως το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων θα είναι πάντα ένας αριθμός και όχι ένα νέο διάνυσμα όπως στην πρόσθεση και την αφαίρεση διανυσμάτων.

Όταν τα διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους, το εσωτερικό γινόμενο είναι ίσο με το 0 (μηδενικό διάνυσμα), ενώ όταν είναι παράλληλα (ή αντιπαράλληλα) το εσωτερικό γινόμενο ισούται με το θετικό (ή αρνητικό αντίστοιχα) γινόμενο των μέτρων τους. Αυτό είναι φανερό γιατί cos90^o = 0 και cos0o = 1 (επίσης cos180^o = − 1).

Το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται επίσης και ως το άθροισμα των γινομένων των επιμέρους συνιστωσών των διανυσμάτων. Συγκεκριμένα, αν το διάνυσμα \vec{\alpha} n διαστάσεων, είναι και με να είναι τα μοναδιαία διανύσματα βάσης ενός διανυσματικού χώρου n διαστάσεων, τότε το εσωτερικό γινόμενο γράφεται ως:

Το εσωτερικό γινόμενο χρησιμοποιείται εκτεταμένα στις εξισώσεις της φυσικής, όπως και όλος ο διανυσματικός λογισμός άλλωστε.

Εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων

Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ουσιαστικά μια καινούρια πράξη μεταξύ διανυσμάτων. Διαφέρει από το εσωτερικό γινόμενο όσον αφορά τα αποτελέσματα των πράξεων. Στο μεν εσωτερικό γινόμενο λαμβάνουμε ένα βαθμωτό μέγεθος ως αποτέλεσμα, ενώ στο εξωτερικό παίρνουμε ένα διάνυσμα .

Το εξωτερικό γινόμενο δεν γενικεύεται για n διαστάσεις, έχει νόημα μόνο σε τρισδιάστατους χώρους. Αν και είναι τα δύο διανύσματα, το εξωτερικό γινόμενο συμβολίζεται ως και ορίζεται ως

όπου και είναι τα μέτρα των διανυσμάτων και , θ είναι η γωνία μεταξύ των δύο διανυσμάτων και είναι το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο στο οποίο βρίσκονται τα \vec{\alpha} και \vec{\beta}. Γραφικά, το εξωτερικό γινόμενο αναπαρίσταται από το σχήμα αριστερά.

Στο σχήμα αυτό, διακρίνονται τα διανύσματα \vec a, \vec b, το διάνυσμα \hat n που είναι κάθετο στα και , καθώς και τα προϊόντα του εξωτερικού γινομένου και . Η ασάφεια που υπάρχει ως προς τη φορά που θα έχει το αποτέλεσμα του εξωτερικού γινομένου, λύνεται με τον κανόνα του δεξιού χεριού. Αντιστοιχώτας στο διάνυσμα τον αντίχειρα και στο διάνυσμα τον δείκτη του δεξιού μας χεριού, ο μέσος θα δείχνει τότε την κατεύθυνση του διανύσματος \vec a\times\vec b, εφ' όσον είναι κάθετος στον αντίχειρα και τον δείκτη.

Για παράλληλα ή αντιπαράληλλα διανύσματα το εξωτερικό γινόμενο δίνει το μηδενικό διάνυσμα, εφόσον sin0^o = 0 και sin180^o = 0.