Η ορίζουσα (Determinant) ενός 2×2 πίνακα

\( A=\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix} \)

ορίζεται ως:

\( det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a & b\\c & d \end{vmatrix}=a \cdot d-b \cdot c.\, \)

Για πίνακα 3 διαστάσεων:

\( A=\begin{bmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix} \)

η ορίζουσα είναι η:

\( \begin{vmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix} = a \cdot det \begin{bmatrix} e & f \\ h & i \end{bmatrix} - d \cdot det \begin{bmatrix} b & c \\ h & i \end{bmatrix} + g \cdot det \begin{bmatrix} b & c \\ e & f \end{bmatrix} \)

δηλαδή με αναδρομικό τρόπο αναπτύσσοντας ως προς μια τυχαία σειρά ή στήλη του πίνακα (εδώ αναπτύχθηκε ως προς την πρώτη στήλη) και αθροίζοντας τα γινόμενα των στοιχείων s της σειράς/στήλης με την ορίζουσα του πίνακα που απομένει αν από τον αρχικό πίνακα αφαιρέσουμε την σειρά και τη στήλη του στοιχείου s, με το πρόσημο του κάθε όρου να είναι εναλλάξ θετικό και αρνητικό, αρχίζοντας από θετικό, δηλαδή σύμφωνα με τον κανόνα:

\( \begin{vmatrix} + & - & + & - & \cdots & \vdots \\ - & + & - & \cdots & & \vdots\\ + & - & \cdots & & & \vdots \\ \vdots\end{vmatrix} \)

Η ορίζουσα πίνακα με τουλάχιστον μία γραμμή ή τουλάχιστον μια στήλη γραμμικά εξαρτημένη από μια άλλη γραμμή ή στήλη αντίστοιχα είναι μηδενική.

πηγές - βιβλιογραφία

Κουρουνιώτης, Χ., Γραμμική Άλγεβρα, Πανεπιστήμιο Κρήτης, 2010

Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Scientific Library