Στη μαθηματική ανάλυση, η παράγωγος είναι ένα μέτρο για το πώς αλλάζει μια συνάρτηση όταν αλλάζουν οι τιμές της εισόδου της. Χονδρικά, θα μπορούσε κανείς να θεωρήσει ότι η παράγωγος μας δείχνει πόσο αλλάζει μια ποσότητα, ως συνέπεια της μεταβολής σε μία άλλη ποσότητα. Για παράδειγμα, η παράγωγος της θέσης ή της απόστασης ενός αυτοκινήτου, για κάποια στιγμή του χρόνου, είναι η στιγμιαία ταχύτητα με την οποία το αυτοκίνητο ταξιδεύει εκείνη τη στιγμή.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε μια επιλεγμένη τιμή εισόδου περιγράφει την καλύτερη γραμμική προσέγγιση της συνάρτησης κοντά σε αυτή την τιμή εισόδου. Για μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, η παράγωγος σε ένα σημείο ισούται με την κλίση της εφαπτόμενης γραμμής στο γράφημα της συνάρτησης σ' αυτό το σημείο. Σε μεγαλύτερο αριθμό διαστάσεων, η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός που λέγεται γραμμικοποίηση.[1]

Η διαδικασία της εύρεσης της παραγώγου λέγεται παραγώγιση ή διαφόριση (οι δύο όροι είναι συνώνυμοι). Όταν η παράγωγος μιας συνάρτησης σε σημείο x0 του πεδίου ορισμού της υπάρχει και είναι μοναδική η συνάρτηση καλείται παραγωγίσιμη ή διαφορίσιμη στο x0. Το θεμελιακό θεώρημα του απειροστικού λογισμού διατυπώνει ότι η παραγώγιση είναι η αντίστροφη διαδικασία της ολοκλήρωσης.

Παραγώγιση και παράγωγος
Σε κάθε σημείο, η παράγωγος είναι η κλίση μιας γραμμής που εφάπτεται στην καμπύλη. Η κόκκινη γραμμή πάντα εφάπτεται της μπλε καμπύλης. Η κλίση της είναι η παράγωγος.

Η παραγώγιση είναι μία μέθοδος για τον υπολογισμό του βαθμού με τον οποίο μια ποσότητα, y, αλλάζει, όταν αλλάζει μια άλλη ποσότητα, x, από την οποία εξαρτάται. Αυτός ο βαθμός αλλαγής ονομάζεται παράγωγος. Για μεγαλύτερη σαφήνεια, η εξάρτηση του y από το x σημαίνει ότι το y είναι συνάρτηση του x. Αν τα x και y είναι πραγματικοί αριθμοί και αν σχεδιαστεί η γραφική παράσταση του y συναρτήσει του x, τότε η παράγωγος δίνει την κλίση αυτής της γραφικής παράστασης σε κάθε σημείο. Αυτή η συναρτησιακή σχέση συνήθως συμβολίζεται ως y=f(x), όπου το f συμβολίζει την συνάρτηση.

Η απλούστερη περίπτωση είναι όταν το y είναι μια γραμμική συνάρτηση του x, που σημαίνει ότι η γραφική παράσταση του y συναρτήσει του x είναι μια ευθεία γραμμή. Σ'αυτήν την περίπτωση, y=f(x)=αx+β, όπου τα α και β είναι πραγματικοί αριθμοί. Η κλίση α της ευθείας δίνεται από την σχέση

\( \alpha = \frac{\Delta y}{\Delta x} \)

Πράγματι, ο τύπος αυτός ισχύει, αφού

y + Δy = f(x + Δx) = α(x + Δx) + β = αx + β + αΔx = y + αΔx
και από αυτό βγαίνει ότι Δy = α Δx

Αυτό δίνει μια συγκεκριμένη τιμή για την κλίση της ευθείας. Αν η συνάρτηση δεν είναι γραμμική (δηλαδή, η γραφική της παράσταση δεν είναι μια ευθεία), τότε η αλλαγή του y σε σχέση με την αλλαγή του x ποικίλει. Η παραγώγιση είναι μια μέθοδος της ακριβούς τιμής του βαθμού αλλαγής, για οποιοδήποτε δοθέν x.
Σχήμα 1. Η εφαπτόμενη γραμμή στο (x, f(x))
Σχήμα 2. Η τέμνουσα της καμπύλης y= f(x) που ορίζεται από τα σημεία (x,f(x)) και (x+h,f(x+h)).
Σχήμα 3. Η εφαπτομένη ως το όριο τεμνουσών.

Η ιδέα, που απεικονίζεται στα Σχήματα 1-3, είναι ο υπολογισμός του βαθμού διαφοράς ως η οριακή τιμή του λόγου Δy/Δx καθώς το Δx γίνεται άπειρα μικρό.

Κατά την σημειογραφία του Leibniz, μια τέτοια απειροστά μικρή αλλαγή στο x συμβολίζεται dx και η παράγωγος του y συναρτήσει του x γράφεται

\( \frac{dy}{dx} \)

συμβολίζοντας τον λόγο δύο απειροστά μικρών ποσοτήτων.

Η πιο συνηθισμένη προσέγγιση[2] για τον σαφή ορισμό αυτής της διαισθητικής ιδέας, χρησιμοποιούνται συνήθως τα όρια, αλλά υπάρχουν και άλλες μέθοδοι.
Ορισμός μέσω διηρημένων διαφορών

Έστω y=f(x) συνάρτηση του x. Κατά την κλασική γεωμετρία, η εφαπτομένη γραμμή σ'εναν πραγματικό αριθμό α είναι η μοναδική γραμμή που περνάει από το σημείο (α,f(α)) και δεν τέμνει την καμπύλη της f κάθετα, που σημαίνει ότι η γραμμή δεν περνάει μέσα από την καμπύλη. Η παράγωγος του y σε σχέση με το x στο σημείο α είναι γεωμετρικά η κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο α. Η κλίση της εφαπτομένης προσεγγίζεται από την κλίσης μιας γραμμής που περνάει από το σημείο (α,f(α)) κι από ένα άλλο σημείο κοντά στο (α,f(α)), για παράδειγμα το (α+h,f(α+h)). Μια τέτοια γραμμή ονομάζεται τέμνουσα. Όσο πιο κοντά στο μηδέν είναι η τιμή του h (σε απόλυτη τιμή), τόσο καλύτερη προσέγγιση της κλίσης της εφαπτομένης έχουμε. Η κλίσης της τέμνουσας είναι η διαφορά των τιμών του y διά την διαφορά των τιμών του x. Δηλαδή,

\( \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \)

Αυτή η έκφραση είναι η διηρημένη διαφορά του Νεύτωνα. Η παράγωγος είναι η τιμή της διηρημένης διαφοράς καθώς η τέμνουσα πλησιάζει όλο και περισσότερο την εφαπτομένη. Τυπικά, η παράγωγος της συνάτησης f στο α είναι το όριο

\( f'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \)

της διηρημένης διαφοράς, καθώς το h πλησιάζει το μηδέν, αν αυτό το όριο υπάρχει. Αν το όριο υπάρχει, τότε η f είναι διαφορίσιμη στο α. Εδώ, το f'(α) ένας από τους κοινούς συμβολισμούς της παραγώγου.

Ισοδύναμα, η παράγωγος ικανοποιεί την ιδιότητα

\( \lim_{h\to 0}{f(a+h)-f(a) - f'(a)\cdot h\over h} = 0, \)

της οποίας η ερμηνεία είναι (βλ. Σχήμα 1) ότι η εφαπτομένη της f στο α δίνει την καλύτερη γραμμική προσέγγιση

\( f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h \)

της f στο α (π.χ. για πολύ μικρές τιμές του h). Αυτή η ερμηνεία είναι η ευκολότερη για να γενικευτεί.

Αντικαθιστώντας το h με 0 στην διηρημένη διαφορά, θα είχαμε διαίρεση διά του μηδενός. Έτσι, η κλίση της εφαπτομένης γραμμής δεν θα μπορούσε να υπολογιστεί άμεσα. Αντί αυτού, ορίζεται η Q(h), που είναι η διηρημένη διαφορά συναρτήσει του h.

\( Q(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}. \)

H Q(h) είναι η κλίση της τέμνουσας μεταξύ των (α,f(α)) και (α+h,f(α+h)). Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση, που σημαίνει ότι η γραφική της παράσταση δεν διακόπτεται και δεν έχει κενά, τότε και η Q είναι συνεχής συάρτησης μακριά από το h=0. Αν υπάρχει το όριο \lim_{h \to 0}{Q(h)}, που σημαίνει ότι υπάρχει ένας τρόπος να "επιλεγεί" μια τιμή για το Q(0), κάτι που καθιστά την συνάρτηση Q συνεχή, τότε η συνάρτηση f είναι διαφορίσιμη στο σημείο α και η παράγωγός της στο α είναι ίση με το Q(0).

Πρακτικά, η ύπαρξη μιας συνεχούς προέκτασης της διηρημένης διαφοράς Q(h) στο h=0 φαίνεται με την αλλαγή του αριθμητή, ώστε να απαλείφει το h του παρονομαστή. Η διαδικασία αυτή μπορεί να είναι μακρά και κουραστική, και γίνονται αρκετές συντομεύσεις για να απολουστευθεί η διαδικασία.
Παράδειγμα

Η συνάρτηση f(x)=x2 είναι διαφορίσιμη στο x=3 και η παράγωγός της εκεί είναι 6. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί αν γράψουμε την διηρημένη διαφορά ως εξής.

\( {f(3+h)-f(3)\over h} = {(3+h)^2 - 9\over{h}} = {9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} = {6h + h^2\over{h}} = 6 + h. \)

Έτσι, έχουμε μια απλουστευμένη συνάρτηση στο όριο

\( \lim_{h\to 0} (6 + h) = 6 + 0 = 6. \)

Η τελευταία σχέση δείχνει ότι η διηρημένη διαφορά είναι ίση με 6+h όταν το h δεν είναι μηδέν και είναι απροσδιόριστη όταν το h είναι 0. Θυμηθείτε ότι από τον ορισμό της διηρημένης διαφοράς, η διηρημένη διαφορά είναι πάντα απροσδιόριστη όταν h=0.) Παρόλ'αυτά, υπάρχει ένας φυσικός τρόπος για να συμπληρωθεί η τιμή της διηρημένης διαφοράς στο σημείο h=0, στην περίπτωσή μας η τιμή αυτή είναι το 6. Επομένως, η κλίση της γραφικής παράσασης της f στο σημείο (3, 9) είναι 6, κι έτσι η παράγωγός της στο x=3 είναι f'(3)=6.
Παραγωγισιμότητα και συνέχεια
Αυτή η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο μαρκαρισμένο σημείο αλλά ούτε και παραγωγίσιμη.

Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Αυτό έχει ως συνέπεια το εξής: αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο τότε δεν μπορεί να είναι ούτε και παραγωγίσιμη. Αν όμως μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο x0 τότε δεν είναι πάντα σωστό ότι είναι και παραγωγίσιμη σε αυτό. Για παράδειγμα η συνάρτησης της απολύτου τιμής f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} με τύπο:

\( f(x) = \begin{cases} x, & x\ge 0 \\ -x, & x < 0\end{cases} \)

είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x = 0 (σε όλα τα άλλα είναι).
Η συνάρτησης της απολύτου τιμής είναι συνεχής παντού, αλλά όχι παραγωγίσιμη στο x = 0.

Διαισθητικά αυτό μπορεί να εξηγηθεί ως εξής: αν το h είναι θετικό, τότε η κλίση της εφαπτομένης από το 0 στο h θα είναι 1. Αντίθετα, αν το h είναι αρνητικό, η κλίση της εφαπτομένης από το 0 στο h είναι -1. Αυτό γραφικά δείχνει μια απότομη στροφή στο σημείο x=0. Ωστόσο ακόμα και συναρτήσεις με ομαλή γραφική παράσταση ενδέχεται να μην είναι παραγωγίσιμη σε ορισμένα σημεία (αυτά στα οποία η εφαπτομένη είναι κατακόρυφη). Για παράδειγμα, η συνάρτηση με τύπο:

\( f(x)=\sqrt[3]{x} \)

δεν είναι παραγωγίσιμη στο x=0.

Ενδέχεται ακόμα μια συνάρτηση να είναι παντού συνεχής αλλά πουθενά παραγωγίσιμη. Το πρώτο γνωστό παράδειγμα συνάρτησης που είναι παντού συνεχής, αλλά πουθενά παραγωγίσιμη, είναι η συνάρτηση Weierstrass.

Σύμφωνα με ένα αποτέλεσμα του Stefan Banach, το σύνολο των συναρτήσεων που έχουν παράγωγο σε μερικά σημεία είναι ένα σύνολο πρώτης κατηγορίας στον χώρο των συνεχών συναρτήσεων, δηλαδή αν από το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων σε ένα σημείο πάρουμε μια στην τύχη, τότε είναι σχεδόν σίγουρο ότι αυτή δεν θα είναι παραγωγίσιμη σε αυτό. Ωστόσο οι περισσότερες συνεχείς συναρτήσεις που συναντάμε στην φυσική έχουν παράγωγο σε όλα τα σημεία τους ή σχεδόν σε κάθε σημείο τους.

Οι περισσότερες συναρτήσεις που προκύπτουν στην πράξη έχουν παράγωγο σε όλα τα σημεία ή σχεδόν σε όλα τα σημεία. Ωστόσο, σε ένα αποτέλεσμα του Στέφαν Μπάναχ υποστηρίζεται ότι το σύνολο των συναρτήσεων που έχουν παράγωγο σε κάποιο σημείο είναι ένα μη πυκνό υποσύνολο στον χώρο όλων των συνεχών συναρτήσεων. Αυτό σημαίνει ότι οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις είναι πολύ αντικανονικές μεταξύ των συνεχών συναρτήσεων.[3] Το πρώτο γνωστό παράδειγμα συνάρτησης που είναι παντού συνεχής αλλά πουθενά παραγωγίσιμη είναι η συνάρτηση Weierstrass.
Η παράγωγος ως συνάρτηση

Έστω f μια συνάρτηση που έχει παράγωγο σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της. Επειδή κάθε σημείο α έχει μια παράγωγο υπάρχει μια συνάρτηση που αντιστοιχεί το σημείο α με την παράγωγο της f στο α. Αυτή η συνάρτηση συμβολίζεται f'(x) και ονομάζεται παράγωγος της f. Η παράγωγος της f "μαζεύει" όλες τις παραγώγους της f σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της f.

Μερικές φορές, η f έχει παράγωγο στα περισσότερα αλλά όχι σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της. Η παράγωγος της οποίας η τιμή στο α είναι ίση με f'(α) όταν το f'(α) ορίζεται και οπουδήποτε αλλού δεν ορίζεται, καλείται επίσης παράγωγος της f. Συνεχίζει να είναι συνάρτηση, αλλά το πεδίο ορισμού της είναι γνήσια μικρότερο από το πεδίο ορισμού της f.

Χρησιμοποιώντας αυτή την ιδέα, η παραγώγιση μετατρέπεται σε μια συνάρτηση συναρτήσεων. Η παράγωγος είναι ένας τελεστής του οποίου το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των συναρτήσεων που έχουν παράγωγο σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού τους και το πεδίο τιμών του είναι ένα σύνολο συναρτήσεων. Αν συμβολίσουμε αυτόν τον τελεστή D, τότε το D(f) είναι η συνάρτηση f'(x). Από την στιγμή που το D(f) αποτελεί συνάρτηση, μπορεί να πάρει τιμή στο σημείο α. Από τον ορισμό της παραγώγου ως συνάρτηση: D(f)(\alpha)=f'(\alpha).

Για σύγκριση, θεωρήστε την συνάρτηση f(x)=2x. H f είναι μια πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, που σημαίνει ότι δέχεται σαν είσοδο πραγματικούς αριθμούς και βγάζει σαν έξοδο πραγματικούς αριθμούς.

\( \begin{align} 1 &{}\mapsto 2,\\ 2 &{}\mapsto 4,\\ 3 &{}\mapsto 6. \end{align} \)

Ο τελεστής D, όμως, δεν ορίζεται για συγκεκριμένους αριθμούς, αλλά μόνο για συναρτήσεις:

\( \begin{align} D(x \mapsto 1) &= (x \mapsto 0),\\ D(x \mapsto x) &= (x \mapsto 1),\\ D(x \mapsto x^2) &= (x \mapsto 2\cdot x). \end{align} \)

Επειδή η έξοδος του D είναι συνάρτηση, αυτή μπορεί να πάρει τιμή σε κάποιο σημείο. Για παράδειγμα, όταν το D εφαρμόζεται στην τετραγωνική συνάρτηση,

\( x \mapsto x^2, \)

τότε βγάζει για έξοδο την συνάρτηση

\( x \mapsto 2x , \)

την οποία ονομάζουμε f(x). Αυτή η συνάρτηση της εξόδου, μπορεί να πάρει τιμές f(1)=2, f(2)=4 κ.ο.κ.
Παράγωγοι μεγαλύτερης τάξης

Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση και f′(x) η παράγωγός της. Η παράγωγος της f′(x) (αν υπάρχει) γράφεται f′′(x) και ονομάζεται δεύτερη παράγωγος της f. Όμοια, η παράγωγος της δεύτερης παραγώγου, αν υπάρχει, γράφεται f′′′(x) και καλείται τρίτη παράγωγος. Αυτές οι επαναλαμβανόμενες παράγωγοι ονομάζονται παράγωγοι μεγαλύτερης τάξης.

Μια συνάρτηση f δεν έχει παράγωγο, αν δεν είναι συνεχής. Κατά τον ίδιο τρόπο, ακόμα κι αν η f έχει παράγωγο, μπορεί να μην έχει δεύτερη παράγωγο. Για παράδειγμα, έστω

\( f(x) = \begin{cases} x^2, & \mbox{if }x\ge 0 \\ -x^2, & \mbox{if }x \le 0\end{cases}. \)

Με βασικούς υπολογισμούς, διαπιστώνεται ότι η f είναι παραγωγίσιμη (ή διαφορίσιμη), της οποίας η παράγωγος είναι

\( f'(x) = \begin{cases} 2x, & \mbox{if }x\ge 0 \\ -2x, & \mbox{if }x \le 0\end{cases}.

Η f'(x) είναι το διπλάσιο της απόλυτης τιμής του x και δεν έχει παράγωγο στο 0. Παρόμοια παραδείγματα δείχνουν ότι μια συνάρτηση μπορεί να έχει κ παραγώγους (όπου κ ένας μη αρνητικός ακέραιος αριθμός), αλλά όχι κ+1 τάξης παράγωγο. Μια συνάρτηση που έχει κ παραγώγους, καλείται κ φορές διαφορίσιμη. Επιπλέον, αν η κ-οστή παράγωγος της f είναι συνεχής, τότε η f είναι διαφορικής κλάσης Cκ. (Αυτή είναι μια δυνατότερη συνθήκη από τα να έχει κ παραγώγους. Για παραδείγματα, βλ. τάξη διαφορισιμότητας). Μια συνάρτησης που έχει άπειρα πολλές παραγώγους, λέγεται απείρως παραγωγίσιμη/διαφορίσιμη ή ομαλή.

Στην γραμμή των πραγματικών αριθμών, κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι απείρως παραγωγίσιμη. Από τους κανόνες της παραγώγισης, προκύπτει ότι αν ένα πολυώνυμο βαθμού n παραγωγιστεί n φορές, τότε καταλήγει σε σταθερή συνάρτηση. Όλες οι υπόλοιπες υπακόλουθες παράγωγοι είναι μηδενικές, δηλαδή υπάρχουν. Έτσι, τα πολυώνυμα είναι ομαλές συναρτήσεις.

Οι παράγωγοι μιας συνάρτησης f σ'ένα σημείο x παρέχουν πολυωνυμικές προσεγγίσεις της συνάρτησης αυτής κοντά στο x. Για παράδειγμα, αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, τότε

\( f(x+h) \approx f(x) + f'(x)h + \tfrac12 f''(x) h^2 \)

με το σκεπτικό ότι

\( \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x) - f'(x)h - \frac12 f''(x) h^2}{h^2}=0. \)

Αν η f είναι απείρως παραγωγίσιμη, τότε αυτή είναι η αρχή της σειράς Taylor για την f.
Σημείο καμπής

Ένα σημείο στο οποίο η δεύτερη παράγωγος έχει διαφορετικό πρόσημο ονομάζεται σημείο καμπής.[4] Σε ένα σημείο καμπής, η δεύτερη παράγωγος μπορεί να είναι μηδενική, όπως στην περίπτωση του σημείου καμπής x=0 της συνάρτησης y=x3. Σε ένα σημείο καμπής, η συνάρτηση αλλάζει κυρτότητα από κοίλη σε κυρτή ή αντίστροφα.

Σημειογραφία και συμβολισμός του διαφορικού λογισμού
Σημειογραφία του Leibniz

Η σημειογραφία για τις παραγώγους που παρουσιάστηκε από τον Gottfried Leibniz είναι μία από τις πρώτες. Χρησιμοποιείται ακόμα ευρέως όταν η εξίσωση y=f(x) εκλαμβάνεται ως μια συναρτησιακή σχέση μεταξύ εξαρτώμενων και ανεξάρτητων μεταβλητών. Τότε, η πρώτη παράγωγος συμβολίζεται με

\( \frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}(x),\;\;\mathrm{or}\;\; \frac{d}{dx}f(x). \)

Παράγωγοι μεγαλύτερης τάξης εκφράζονται γράφοντας

\( \frac{d^ny}{dx^n}, \quad\frac{d^nf}{dx^n}(x), \;\;\mathrm{or}\;\; \frac{d^n}{dx^n}f(x) \)

για την n-οστή παράγωγο της y=f(x).

Με την σημειογραφία του Leibniz μπορούμε να εκφράσουμε την παράγωγο της f στο x=α με δύο διαφορετικούς τρόπους:

\( \frac{dy}{dx}\left.{\!\!\frac{}{}}\right|_{x=a} = \frac{dy}{dx}(a).

Στον συμβολισμό του Leibniz γίνεται σαφές ως προς πια μεταβλητή γίνεται η παραγώγιση (στον παρονομαστή). Αυτό σχετίζεται ιδιαίτερα με την μερική διαφόριση. Επίσης, με αυτήν την σημειογραφία γίνεται ευκολομνημόνευτος ο κανόνας της αλυσίδας[5]:

\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}. \)

Σημειογραφία του Lagrange

Ένας από τους πιο κοινούς σύγχρονους συμβολισμούς για την διαφόριση οφείλεται στον Joseph Louis Lagrange και χρησιμοποιεί τον τόνο έτσι, ώστε η παράγωγος μια συνάρτησης f(x) συμβολίζεται με f'(x) ή απλούστερα f'. Όμοια, η δεύτερη και η τρίτη παράγωγος συμβολίζονται

\( (f')'=f''\,   και   (f'')'=f'''\,. \)

Εκτός από τον τόνο, μερικοί χρησιμοποιούν τους Ρωμαϊκούς αριθμούς, όπως

\( f^{\mathrm{iv}}\, \)

για την τέταρτη παράγωγο, καθώς άλλοι τοποθετούν τον αριθμό της τάξης της παραγώγου σε παρένθεση

\( f^{(4)}\, \)

Ο τελευταίος συμβολισμός γενικεύεται δίνοντας το σύμβολο f(n) για την n-οστή παράγωγο της f. Αυτή η σημειογραφία είναι πιο χρήσιμη όταν αναφερόμαστε στην παράγωγο όντας μια συνάρτηση από μόνη της, κάτι για το οποίο η σημειογραφία του Leibniz γίνεται περίπλοκη.
Σημειογραφία του Νεύτωνα

Κατά τον συμβολισμό του Νεύτωνα για την παραγώγιση, τοποθετείται μια τελίτσα πάνω από την συνάρτηση που παριστάνει την παράγωγο. Αν y=f(t), τότε τα

\( \dot{y}   and   \ddot{y} \)

παριστάνουν, αντίστοιχα, την πρώτη και την δεύτερη παράγωγο της y σε σχέση με την μεταβλητή t. Αυτός ο συμβλισμός χρησιμοποιείται σχεδόν αποκλειστικά για χρονικές παραγώγους, με την έννοια ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή της συνάρτησης εκφράζει τον χρόνο. Είναι κάτι κοινό στην Φυσική και σε τομείς των Μαθηματικών που συνδέονται με την Φυσική, όπως οι διαφορικές εξισώσεις. Καθώς ο συμβολισμός αυτός γίνεται πολύ δύσχρηστος για μεγάλες τάξεις παραγώγων, πρακτικά χρειάζονται αρκετά μικρές παράγωγοι.
Σημειογραφία του Euler

Στην σημειογραφία του Euler χρησιμοποιείται ένας διαφορικός τελεστής D, ο οποίος εφαρμόζεται σε μια συνάρτηση f δίνοντας την πρώτη παράγωγο Df. Η δεύτερη παράγωγος συμβολίζεται με D2f και η n-οστή παράγωγος με Dnf.

Αν y=f(x) είναι μια εξαρτημένη μεταβλητή, τότε ο δείκτης x γράφεται μαζί με το D διευκρινίζοντας την ανεξάρτητη μεταβλητή x. Έτσι, ο συμβολισμός του Euler είναι

\( D_x y\,   ή   D_x f(x)\,, \)

αν και αυτός ο δείκτης συχνά παραλείπεται όταν εννοείται, για παράδειγμα όταν αυτή είναι η μόνη μεταβλητή που υπάρχει σε μια έκφραση.

Η σημειογραφία του Euler είναι χρήσιμη στην δήλωση και επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων.

Υπολογίζοντας την παράγωγο

Η παράγωγος μιας συνάρτησης μπορεί, κατά κανόνα, να υπολογιστεί μέσω του ορισμού θεωρώντας τις διηρημένες διαφορές και υπολογίζοντας τα όριά τους. Πρακτικά, από την στιγμή που οι παράγωγοι απλών συναρτήσεων είναι γνωστές, οι παράγωγοι άλλων συναρτήσεων είναι πιο εύκολα υπολογίσιμοι χρησιμοποιώντας κανόνες για την εύρεση της παραγώγου σύνθετων συναρτήσεων μέσω απλούστερων.
Παράγωγοι στοιχειωδών συναρτήσεων

Τις περισσότερες φορές, ο υπολογισμός μιας παραγώγου απαιτεί την παραγώγιση μερικών κοινών συναρτήσεων. Η παρακάτω μη ολοκληρωμένη λίστα δίνει κάποιες από τις συχνότερα χρησιμοποιούμενες συναρτήσεις και τις παραγώγους τους.

Παράγωγοι δυνάμεων: Αν

\( f(x) = x^a\,, \)

όπου α σταθερός πραγματικός αριθμός, τότε

\( f'(x) = a x^{a-1}\, \)

σε κάθε σημείο όπου ορίζεται η συνάρτηση. Για παράδειγμα, αν α=1/2, τότε

\( f'(x) = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}, \)

και η συνάρτηση ορίζεται μόνο για μη αρνητικά x. Όταν x=0, αυτός ο κανόνας περικλείει τον κανόνα παραγώγισης σταθερής συνάρτησης.

Εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις:

\( \frac{d}{dx}e^x = e^x \)
\( \frac{d}{dx}a^x = \ln(a)a^x \)
\( \frac{d}{dx}\ln(x) = 1/x,\qquad x > 0 \)
\( \frac{d}{dx}\log_a(x) = \frac{1}{x\ln(a)} \)

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

\( \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x). \)
\( \frac{d}{dx}\cos(x)= -\sin(x). \)
\( \frac{d}{dx}\tan(x)= \sec^2(x). \)

Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

\( \frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. \)
\( \frac{d}{dx}\arccos(x)= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. \)
\( \frac{d}{dx}\arctan(x)= \frac{1}{{1+x^2}}. \)

Κανόνες παραγώγισης

Σε πολλές περιπτώσεις, περίπλοκοι υπολογισμοί ορίων με την άμεση εφαρμογή των διηρημένων διαφορών του Νεύτωνα μπορούν να αποφευχθούν με τους κανόνες παραγώγισης. Κάποιοι από τους βασικότερους είναι οι ακόλουθοι.

Κανόνας σταθερής συνάρτησης: αν η f(x) = α είναι σταθερή συνάρτηση και α είναι ένας πραγματικός αριθμός, τότε

\( f'(x) = (a)' = 0 \,. \)

Κανόνας αθροίσματος:

\( (a f(x) + \beta g(x))' = a f'(x) + \beta g'(x) \,, \) για κάθε συνάρτηση f και g και για κάθε πραγματικό αριθμό α και β.

Το ίδιο ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις.

Κανόνας γινομένου:

\( (f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \,, \) για κάθε συνάρτηση f και g.

Το ίδιο ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις.

Κανόνας πηλίκου:

\( \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}{g^2(x)} \), για κάθε συνάρτηση f και g, όπου g(x) \neq 0.

Κανόνας αλυσίδας: εάν f(x) = h(g(x))

\( f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x) \,. \)

Παράδειγμα υπολογισμού

Η παράγωγος της

\( f(x) = x^4 + \sin (x^2) - \ln(x) e^x + 7\, \)

είναι

\( \begin{align} f'(x) &= 4 x^{(4-1)}+ \frac{d\left(x^2\right)}{dx}\cos (x^2) - \frac{d\left(\ln {x}\right)}{dx} e^x - \ln{x} \frac{d\left(e^x\right)}{dx} + 0 \\ &= 4x^3 + 2x\cos (x^2) - \frac{1}{x} e^x - \ln(x) e^x. \end{align} \)

Εδώ, ο δεύτερος όρος υπολογίστηκε με τον κανόνα της αλυσίδας και ο τρίτος με τον κανόνα του γινομένου. Χρησιμοποιήθηκαν επίσης οι γνωστές παράγωγοι των στοιχειωδών συναρτήσεων x2, x4, sin(x), ln(x) and exp(x) = ex
Παράγωγος σε περισσότερες διαστάσεις
Παράγωγος διανυσματικής συνάρτησης

Μια διανυσματική συνάρτηση y(t) μιας πραγματικής μεταβλής είναι μια συνάρτηση που "στέλνει" πραγματικούς αριθμούς σε διανύσματα στον διανυσματικό χώρο \( \R^n \). Μια διανυσματική συνάρτηση y(t)=(y₁(t), y₂(t), y₃(t),...,y_n(t)) μπορεί να διασπαστεί στις συνιστώσες συναρτήσεις της y₁(t),...,y_n(t).. Αυτό περιλεμβάνει, για παράδειγμα, παραμετρικές καμπύλες στο \( \R^2 \) ή \( \R^3 \). Οι συνιστώσες συναρτήσεις είναι πραγματικές συναρτήσεις και έτσι ο παραπάνω ορισμός της παραγώγισης μπορεί να εφαρμοστεί σ'αυτές. Η παράγωγος της y(t) ορίζεται ως το διάνυσμα, λέγεται εφαπτόμενο διάνυσμα, του οποίου οι συντεταγμένες είναι οι παράγωγοι των συνιστωσών συναρτήσεων. Δηλαδή,

\( \mathbf{y}'(t) = (y'_1(t), \ldots, y'_n(t)). \)

Ισοδύναμα,

\( \mathbf{y}'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{y}(t+h) - \mathbf{y}(t)}{h}, \)

αν το όριο υπάρχει. Η διαφορά στον αριθμητή είναι διαφορά διανυσμάτων, όχι βαθμωτών. Αν η παράγωγος της y υπάρχει για κάθε τιμή του t, τότε η y′ είναι μια άλλη διανυσματική συνάρτηση.

Αν {e₁, e₂, e₃,...,e_n} αποτελεί μια βάση του \( \R^n \), τότε η y(t) μπορεί επίσης να γραφτεί y₁(t)e₁, y₂(t)e₂, y₃(t)e₃,...,y_n(t)e_n. Αν θεωρήσουμε ότι η παράγωγος μια διανυσματικής συνάρτησης διατηρεί την γραμμικότητα, τότε η παράγωγος της y(t) είναι

\( y'_1(t)\mathbf{e}_1 + \cdots + y'_n(t)\mathbf{e}_n \)

γιατί κάθε ένα από τα διανύσματα της βάσης είναι σταθερές.

Αυτή η γενίκευση είναι χρήσιμη αν, για παράδειγμα, η y(t) είναι το διάνυσμα θέσης ενός αντικειμένου στην στιγμή t. Τότε η παράγωγος y′(t) εκφράζει την ταχύτητα του αντικειμένου την στιγμή t.
Μερικές παράγωγοι

Υποθέστε ότι η f είναι μια συνάρτηση που εξαρτάται από παραπάνω από μία μεταβλητές. Για παράδειγμα,

\( f(x, y) = x^2 + x y+ y^2 \,. \)

Η f μπορεί να αναθεωρηθεί ως μια οικογένεια συναρτήσεων μιας μεταβλητής με δείκτες τις άλλες μεταβλητές:

\( f(x,y) = f_x(y) = x^2 + x y+ y^2 \,. \)

Με άλλα λόγια, κάθε τιμή του x «επιλέγει» μια συνάρτηση, που συμβολίζτεαι fx και είναι συνάρτηση μίας πραγματικής μεταβλητής. Έτσι,

\( x \mapsto f_x,\, \)
\( f_x(y) = x^2 + xy + y^2.\, \)

Από την στιγμή που έχει επιλεγεί μια τιμή για το x, έστω α, τότε η f(x,y) καθορίζει την fα που «στέλνει» το y στο α2+αy+y2.

\( f_a(y) = a^2 + a y+ y^2 \,. \)

Σ'αυτήν την παράσταση, το α είναι σταθερά, και όχι μεταβλητή, έτσι η fα είναι συνάρτηση μόνο μίας πραγματικής μεταβλητής. Συνεπώς, ο ορισμός της παραγώγου μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής μπορεί να εφαρμοστεί:

\( f_a'(y) = a + 2y.\,

Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να γίνει για οποιαδήποτε τιμή του α. Μαζεύοντας τις παραγώγους σε μία συνάρτηση το αποτέλεσμα θα ήταν μια συνάρτηση που εκφράζει την αλλαγή της f στην κατεύθυνση του y:

\( \frac{\part f}{\part y}(x,y) = x + 2y.

Αυτή είναι η μερική παράγωγος της f σε σχέση με το y. Εδώ, το ∂ είναι το σύμβολο της μερικής παραγώγου.

Γενικά, η μερική παράγωγος μιας συνάρτησης f(x₁, x₂,...,x_n) στην κατεύθυνση του x_i στο σημείο (α₁, α₂,...,α_n) ορίζεται ως:

\( \frac{\part f}{\part x_i}(a_1,\ldots,a_n) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a_1,\ldots,a_i+h,\ldots,a_n) - f(a_1,\ldots,a_n)}{h}. \)

Στην παραπάνω διηρημένη διαφορά, όλες οι μεταβλητές εκτός της xi διατηρούνται σταθερές. Αυτή η επιλογή σταθερών τιμών προσδιορίζει μια συνάρτηση μίας μεταβλητής

\( f_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}(x_i) = f(a_1,\ldots,a_{i-1},x_i,a_{i+1},\ldots,a_n) \)

και εξ'ορισμού

\( \frac{df_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}}{dx_i}(a_1,\ldots,a_n) = \frac{\part f}{\part x_i}(a_1,\ldots,a_n). \)

Με άλλα λόγια, οι διαφορετικές επιλογές της τιμής του α, δίνουν μια οικογένεια συναρτήσεων μίας μεταβλητής, ακιβώς όπως στο παραπάνω παράδειγμα. Αυτή η έκφραση δείχνει επίσης ότι ο υπολογισμός της μερικής παραγώγου περιορίζεται στον υπολογισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης μίας μεταβλητής.

Ένα σημαντικό παράδειμα συνάρτησης πολλών μεταβλητών είναι η περίπτωση της βαθμωτής συνάρτησης f(x₁,...x_n) σε ένα πεδίο ορισμού στον Ευκλείδειο χώρο \(\R^n \) (π.χ. \( \R^2 \) ή \( \R^3 \) ). Σ'αυτην την περίπτωση, η f έχει μια μερική παράγωγο ∂f/∂xj σε σχέση με κάθε μεταβλητή xj. Στο σημείο α, αυτές οι μερικές παράγωγοι ορίζουν το διάνυσμα

\( \nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right). \)

Αυτό το διάνυσμα ονομάζεται ανάδελτα της f στο α. Αν η f είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο στο πεδίο ορισμού της, τότε το ανάδελτα είναι μια διανυσματική συνάρτηση ∇f που αντιστοιχεί το σημείο α στο διάνυσμα ∇f(α). Κατά συνέπεια, το ανάδελτα προσδιορίζει ένα διανυσματικό πεδίο.
Διανυσματική παράγωγος

Αν η f είναι μια πραγματική συνάρτηση στο \( \R^n \), τότε η μερική παράγωγος της f εκφράζει ένα μέτρο αλλαγής της στον άξονα της συνισταμένης. Για παράδειγμα, αν η f είναι μια συνάρτηση του x και του y, τότε οι μερικές της παράγωγοι μετράνε την αλλαγή της f στην κατεύθυνση x και στην κατεύθυνση y. Ωστόσο, δεν μετράνε άμεσα την αλλαγή της f σε κάποια άλλη κατεύθυνση, όπως πάνω στην διχοτόμο y=x. Αυτές μετρούνται με την βοήθεια των διανυσματικών παραγώγων. Επιλέξτε ένα διάνυσμα

\( \mathbf{v} = (v_1,\ldots,v_n). \)

Η διανυσματική παράγωγος της f στην κατεύθυνση του v στο σημείο x είναι το όριο

\( D_{\mathbf{v}}{f}(\boldsymbol{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\boldsymbol{x} + h\mathbf{v}) - f(\boldsymbol{x})}{h}}. \)

Έστω λ πραγματικός αριθμός. Η αντικατάσταση του h με h/λ αλλάζει την διηρημένη διαφορά της κατεύθυνσης λv σε λ φορές την διηρημένη διαφορά της κατεύθυνσης v. Συνεπώς, η διανυσματική παράγωγος στην κατεύθυνση λv είναι ίση με λ φορές την διανυσματική παράγωγο στην κατεύθυνση v. Λόγω αυτού, οι διανυσματικές παράγωγοι συνήθως λαμβάνονται μόνο για μοναδιαία διανύσματα v.

Αν όλες οι μερικές παράγωγοι της f υπάρχουν και είναι συνεζείς στο x, τότε προσδιορίζουν την διανυσματική παράγωγο της f στην κατεύθυνση v με τον τύπο:

\( D_{\mathbf{v}}{f}(\boldsymbol{x}) = \sum_{j=1}^n v_j \frac{\partial f}{\partial x_j}. \)

Αυτή είναι μια συνέπεια του ορισμού της ολικής παραγώγου. Ακολούθως, η διανυσματική παράγωγος είναι γραμμική στο v.

Ο ίδιος ορισμός χρησιμοποιείται επίσης όταν η f είναι μια συνάρτηση που λαμβάνει τιμές στο \( \R^m \). Απλά, εφαρμόζουμε τον παραπάνω ορισμό σε κάθε στοιχείο του διανύσματος. Σ'αυτήν την περίπτωση, η διανυσματική παράγωγος είναι ένα διάνυσμα στο \( \R^m. \)

Παραπομπές

↑ Ο απειροστικός λογισμός, όπως συζητάται σε αυτό το άρθρο, είναι ένας πολύ καλά ορισμένος κλάδος των μαθηματικών, για τον οποίο υπάρχουν πολλές πηγές. Σχεδόν όλο το υλικό που σε αυτό το άρθρο βρίσκεται στο Apostol 1967, Aposton 1969 και Spivak 1994.
↑ Spivak 1994, chapter 10.
↑ Banach, S. (1931). "Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen". Studia. Math. (3): 174–179. . Cited by Hewitt, E and Stromberg, K (1963). Real and abstract analysis. Springer-Verlag. Theorem 17.8.
↑ Apostol 1967, §4.18
↑ Στη σημειογραφία του απειροστικού λογισμού με χρήση των ορίων, έχουν αποδοθεί διάφορες σημασίες από διάφορους συγγραφείς στο σύμβολο du. Μερικοί συγγραφείς δεν αποδίδουν κάποια σημασία στο σύμβολο du καθαυτό, αλλά μόνο ως μέρος τους συμβολισμού du/dx. Άλλοι ορίζουν το dx ως ανεξάρτητη μεταβλητή και ορίζουν το du ως du = dx•ƒ′(x).

Δείτε επίσης

Κλίση συνάρτησης
Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα derivative της Αγγλόγλωσσης Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).

Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Scientific Library