Ανάδελτα (Del) είναι διανυσματικός διαφορικός τελεστής των μερικών παραγώγων μιας συνάρτησης ως προς τις τρεις διαστάσεις του χώρου. Γενικά, δείχνει τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται ένα μέγεθος στο χώρο. Συμβολίζεται με \( \nabla \), το οποίο σύμβολο μοιάζει με αναποδογυρισμένο κεφαλαίο Δ. Η χρήση του ανάδελτα μοιάζει με εσωτερικό ή εξωτερικό γινόμενο του οιωνεί διανύσματος \( \frac{\partial}{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial}{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial}{\partial z}\hat{z} \) με τη συνάρτηση, όπου το οιωνεί διάνυσμα είναι πάντα ο πρώτος παράγοντας.

Ορισμός του ανάδελτα

Έστω μια συνάρτηση ως προς τις τρεις διαστάσεις του χώρου \( f(\vec{r})=f(x,y,z) \). Τότε ορίζουμε:

\( \nabla\cdot f\equiv\lim_{V\rightarrow 0}(\frac{1}{V}\oint_{C}f\cdot d\vec{a}) =\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\hat{x}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\hat{y}+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot\hat{z} \)

Αν η συνάρτηση f είναι διάνυσμα (\vec{f}) έχει συνιστώσες f_x, f_y, f_z ως προς του άξονες x'x, y'y, z'z αντίστοιχα, τότε ορίζουμε:

\( \nabla\times \vec{f}\equiv\lim_{V\rightarrow 0}(\frac{1}{V}\oint_{C}\vec{f}\times d\vec{a}) =(\frac{\partial f_z}{\partial y}-\frac{\partial f_y}{\partial z})\hat{x}+(\frac{\partial f_z}{\partial x}-\frac{\partial f_x}{\partial z})\hat{y}+(\frac{\partial f_y}{\partial x}-\frac{\partial f_x}{\partial y})\hat{z} \)

Όπου C μια κλειστή επιφάνεια και V ο περικλειόμενος όγκος.

Κλίση και Απόκλιση

Η έκφραση \( \nabla\cdot f \) συμβολίζεται με gradf, κλίση της συνάρτησης f αν f πραγματική συνάρτηση και divvf, απόκλιση της συνάρτησης f αν f διανυσματική συνάρτηση. Αυτή η έκφραση αναφέρεται σε συνάρτηση των τριών διαστάσεων και διαφέρει από την κλίση παραγώγου πραγματικής συνάρτησης μιας πραγματικής μεταβλητής που αφορά μόνο μία διάσταση. Αν η συνάρτηση f είναι πραγματική τριών πραγματικών μεταβλητών, τότε η κλίση της αντιπροσπεύει ένα εφαπτόμενο υπερεπίπεδο στις τέσσερις διαστάσεις, όπως η κλίση της παραγώγου αντιπροσωπεύει μια εφαπτόμενη ευθεία στις δύο διαστάσεις.

Στροβιλότητα

Η έκφραση \( \nabla\times f \) συμβολίζεται[1] με rotf ή curlf και ονομάζεται στροβιλότητα της συνάρτησης f. Αν η συνάρτηση f δεν περιέχει δίνες, τότε η στροβιλότητά της είναι μηδέν. Μια διανυσματική συνάρτηση παρουσιάζει δίνες, αν η συνάρτηση ορίζει κλειστές διαδρομές. Δηλαδή, αν κάποιος ακολουθώντας τα διανύσματά της συνάρτησης, υπάρχει τρόπος από ένα σημείο να ξανασυναντήσει το συγκεκριμένο σημείο.

Το εξωτερικό γινόμενο ανάδελτα με την f συμβολίζεται και με: \( \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ f_x & f_y & f_z \end{vmatrix} \)[1]

σε μορφή ορίζουσας, αλλά υποχρεωτικά η ορίζουσα ανοίγεται ως προς την πρώτη γραμμή. Αυτός ο μαθηματικός τύπος παραβιάζει τους κανόνες της τυπικής γλώσσας, αλλά χρησιμεύει ως μνημονικός κανόνας.
Ανάδελτα εις τη ν

Ορίζουμε την ύψωση του ανάδελτα σε φυσική δύναμη με βάση το εσωτερικό γινόμενο: \(\nabla^{\nu}f=\frac{\partial^{\nu}}{\partial x^{\nu}}\hat{x}^{\nu}+\frac{\partial^{\nu}}{\partial^{\nu} y}\hat{y}^{\nu}+\frac{\partial^{\nu}}{\partial^{\nu} z}\hat{z}^{\nu} \), αν ν>1.

Σε αυτήν την περίπτωση αν η συνάρτηση f είναι διανυσματική, τότε οι περιττής τάξεως δυνάμεις αναπαριστούν αποκλίσεις, ενώ οι άρτιας τάξης κλίσεις. Αντίστροφα, αν η συνάρτηση f είναι πραγματικός αριθμός, τότε οι περιττής τάξης δυνάμεις αναπαριστούν κλίσεις, ενώ οι άρτιας αποκλίσεις. Σημειώνεται ότι τα μαναδιαία διανύσματα στη νιοστή δύναμη \( \hat{x}^{\nu}, \hat{y}^{\nu}, \hat{z}^{\nu} \) ισούνται με \( \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} \) αν ν περιττός αριθμός και με 1, 1, 1 αν ν άρτιος αριθμός.

Τελεστής Λαπλάς

Ο τελεστής Λαπλάς συμβολίζεται με \triangle, δηλαδή τον ανάδελτα αναποδογυρισμένο και ορίζουμε σε μια συνάρτηση f των τριών μεταβλητών του χώρου: \( \triangle f=\nabla^{2}f. \)

Ιδιότητες

Αν f διανυσματική συνάρτηση:

\( \nabla\cdot(\nabla\times f)=0 \)

Η απόκλιση της στροβιλότητας είναι μηδέν.[1]

\( \nabla\times(\nabla\cdot f)=\vec{0} \)

Η στροβιλότητα της κλίσης είναι μηδέν. [1]

\( \nabla\times(\nabla\times f)=\nabla(\nabla f)-\nabla^{2}f \)

Στον τελεστή ανάδελτα ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες της παραγώγισης όπως της γραμμικότητας. Αυτό συμβαίνει, γιατί ο τελεστής ανάδελτα είναι διαφορικός. Σε κάθε ταυτότητα η οποία αναφέρεται στις ιδιότητες της παραγώγισης, το είδος του τελεστή που συμμετέχει διατηρείται και στα δύο μέλη της κάθε ταυτότητας. Για παράδειγμα στον κανόνα του γινομένου ισχύει:

\( \nabla\cdot(fg)=f\nabla\cdot g+g\nabla\cdot f[1] \)
\( \nabla\times(fg)=f\nabla\times g+g\nabla\times f \)

Δείτε επίσης

διαφορική γεωμετρία

Παραπομπές

↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 Τελεστής ανάδελτα (html). www.hellenica.de. Ανακτήθηκε στις 2010-06-24.

Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Scientific Library