Κυκλοτομικό σώμα

Ως m-οστό κυκλοτομικό σώμα \( (m^{th} \) cyclotomic field) ορίζουμε το σώμα που προκύπτει επισυνάπτοντας στο \( \mathbb{Q} \) μια πρωταρχική m-οστή ρίζα της μονάδας ,δηλαδή είναι της μορφής \( \mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi k i}{m}}) \) με (k,m)=1.Το σώμα αυτό περιέχει όλες τις m-οστές ρίζες της μονάδας και είναι το σώμα ριζών (spliting field) του m-οστού κυκλοτομικού πολυωνύμου. Ακόμα ισχύει ότι \( [\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi k i}{m}}):\mathbb{Q}]=\phi(m) \) όπου (k,m)=1 και \( \mathcal{\phi} \) η αριθμητική συνάρτηση του Euler.

Παράδειγμα

Στην περίπτωση που m=p πρώτος έχουμε ότι το p-οστό κυκλοτομικό σώμα είναι το \( \mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi i}{m}}) \) και επιπλέον ότι \( Irr(e^{\frac{2\pi i}{m}},\mathbb{Q})=t^{p-1}+t^{p-2}+..+t+1 \) οπότε \( [\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi i}{m}}):\mathbb{Q}]=p-1=\phi(p) \).

Αντίστοιχο θεώρημα για τα πραγματικά τετραγωνικά σώματα δεν είναι γνωστό.