.
Ακολουθία Κωσύ
H ακολουθία Κωσύ (Cauchy sequence) ονομάστηκε έτσι προς τιμή του γάλλου μαθηματικού Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ (Augustin-Louis Cauchy). Είναι μία ακολουθία της οποίας οι όροι έχουν όλο και μικρότερη απόσταση όσο η ακολουθία εξελίσσεται.
Ορισμός
Μία πραγματική ακολουθία \( (x_n)_{n\in\N} \) είναι Κωσύ ανν για κάθε ε > 0 υπάρχει φυσικός Ν τέτοιος ώστε για κάθε n, m > N ισχύει |x_n - x_m|<\varepsilon.
Μία ακολουθία \( (x_n)_{n\in\N} \) ορισμένη στον μετρικό χώρο (Μ, d) είναι ακολουθία Κωσύ ανν για κάθε ε > 0 υπάρχει φυσικός Ν τέτοιος ώστε για κάθε n, m > N ισχύει \( d(x_n, x_m)<\varepsilon \).
Οι ακολουθίες Κωσύ δεν είναι αναγκαστικά συγκλίνουσες. Ένας μετρικός χώρος στον οποίο κάθε ακολουθία Κωσύ είναι και συγκλίνουσα ονομάζεται πλήρης.
Παραδείγματα
Θεωρούμε την ακολουθία \( x_n=F_{n+1}/F_n \) στον, όπου F_n, n=1,2,.. οι αριθμοί Φιμπονάτσι. Οι όροι της ακολουθίας x_n είναι ρητοί αριθμοί. Στον χώρο των πραγματικών αριθμών η ακολουθία αυτή συγκλίνει στη χρυσή τομή \( \phi = (1+\sqrt5)/2 \). Στον χώρο των ρητών αριθμών η ακολουθία αυτή δε συγκλίνει, αφού το φ είναι άρρητος, είναι όμως Κωσύ.
Retrieved from "http://el.wikipedia.org/"
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License
