.
Αριθμητική πρόοδος
Αριθμητική πρόοδος (Arithmetic Progression) είναι η ακολουθία, στην οποία για δύο διαδοχικούς όρους της αν, αν+1 ισχύει ότι \( \alpha_{\nu+1}-\alpha_{\nu}=\omega, \) όπου ω μία σταθερή ποσότητα. Η ποσότητα ω ονομάζεται διαφορά της αριθμητικής προόδου. Αντίστροφα, αποδεικνύεται ότι, αν η οποιαδήποτε διαφορά δύο διαδοχικών όρων μιας ακολουθίας είναι συγκεκριμένη, τότε αυτή η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος. Έτσι, η αριθμητική πρόοδος, όπως πολλές ακολουθίες, έχει δύο ισοδύναμους τύπους:
- Γενικός τύπος: αν=α1+(ν-1)ω
- Αναδρομικός τύπος: αν=αν-1+ω
Ιδιότητες της προόδου
Η γραφική παράσταση της αριθμητικής προόδου είναι ισαπέχοντα διαδοχικα σημεία μιας ευθείας με κλίση ίση με ω.
Ο αριθμητικός μέσος όρος δύο αριθμών α,γ είναι ο β, αν και μόνο αν οι όροι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.
Το άθροισμα των ν πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) ( με πρώτον όρο τον α1) ισούται με \( \Sigma_\nu=\frac{\nu(\alpha_1+\alpha_\nu)}{2} \)
Αυτός ο τύπος είχε υπολογιστεί από τον Γκάους σε ηλικία μόλις έντεκα χρονών, όντας ο μοναδικός μαθητής στην τάξη του που υπολόγισε σωστά το άθροισμα 1+2+3+...+999+1000 και αποδεικνύοντας ότι το αποτέλεσμα ήταν σωστό ξεπερνώντας ακόμη και τον δάσκαλό του. Ο συμβατικός τρόπος (διαδοχική πρόσθεση των αριθμών) περιλάμβανε πάρα πολλές πράξεις και ήταν σχεδόν βέβαιο ότι θα γινόταν λάθος.
Αν ω=1 και α1=1 τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών.
Retrieved from "http://el.wikipedia.org/"
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License
