Hellenica World

.


Ανάπτυξη ενός αριθμού n σε υπερβάση p

Π.χ. n = 266 p =2, 266 = 28 + 23+ 21 = 2a + 23+ 21 , a = 22+1

Ορίζουμε μια διαδικασία "φούσκωμα" fp(n) ενός αριθμού n στην υπερβάση p την αντικατάσταση του p με τον αριθμό p+1

Π.χ. f2(266) = 381+84 > 4*1038

Για κάθε ακέραιο αριθμό n ορίζουμε την Ακολουθία Goodstein g ως εξής

g1(n) = n

gp(n) = fp(gp-1(n))-1

Π.χ.

n=256

g1(256) = n, g2(256) = 381+84 -1, g3(256) > 10616,...

Ο Reuben Goodstein απόδειξε οτι:

Για κάθε φυσικό αριθμό n η Goodstein ακολουθία μηδενίζεται,

παρόλο που αυξάνει με τρομάκτικο ρυθμό τελικά καταλήγει στο 0, και μόνο επειδή αφαιρείται ο αριθμός 1 κάθε φορά, έστω και αν φαινομενικά είναι ασήμαντος σε σύγκριση με το fp(gp-1(n)).

Ο αριθμός των βημάτων για το μηδενισμό είναι τρομακτικά μεγάλος, π.χ περίπου 10 στην 109 βήματα για n=5

Goodstein, R., On the restricted ordinal theorem, Journal of Symbolic Logic, 9 (1944), 33-41.

Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Retrieved from "http://el.wikipedia.org/"
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License

Επιστήμη

Αλφαβητικός κατάλογος

Home